2025年高考数学一轮复习考点突破和专题检测专题05幂函数与二次函数2.docx

专题05幂函数与二次函数4题型分类

1、幂函数的定义

一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.

2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数

①的系数为1；????????②的底数是自变量；????③指数为常数.

（3）幂函数的图象和性质

3、常见的幂函数图像及性质：

函数

图象

定义域

值域

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

单调性

在上单调递增

在上单调递减，在上单调递增

在上单调递增

在上单调递增

在和上单调递减

公共点

4、二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：；

（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.

（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.

5、二次函数的图像

二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.

（1）单调性与最值

①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；

②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，

（2）与轴相交的弦长

当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.

6、二次函数在闭区间上的最值

闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.

对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，则；

（4）若，则.

（一）

幂函数的定义及其图像

1、幂函数在第一象限内图象的画法如下：

①当时，其图象可类似画出；

②当时，其图象可类似画出；

③当时，其图象可类似画出．

题型1：幂函数的定义及其图像

11．（2024·江西·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则（????）

A．0 B．2 C．4 D．5

12．（2024高三·河北·学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（????）

A．2 B．3 C．4 D．9

13．（2024高一下·湖北宜昌·期中）已知函数且的图象经过定点，若幂函数的图象也经过该点，则．

14．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（????）

A．p，q均为奇数，且

B．q为偶数，p为奇数，且

C．q为奇数，p为偶数，且

D．q为奇数，p为偶数，且

15．（2024高一上·陕西西安·期中）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（????）

A． B． C． D．

（二）

幂函数性质的综合应用

函数

图象

定义域

值域

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

单调性

在上单调递增

在上单调递减，在上单调递增

在上单调递增

在上单调递增

在和上单调递减

公共点

题型2：幂函数性质的综合应用

21．（2024高一上·上海杨浦·期末）已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则.

22．（2024高三上·宁夏固原·期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（????）

A． B．或 C． D．

23．（2024·海南·模拟预测）已知为幂函数，则（????）．

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．在上单调递增 D．在上单调递减

24．（2024·江苏）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(8)的值是.

25．（2024高三·全国·课后作业）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．

（三）

二次方程的实根分布及条件

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.

题型3：二次方程的实根分布及条件

31．（2024高三·全国·阶段练习）方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

32．（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

33．（2024高一·江苏·课后作业）设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（????）.

A． B．

C． D．

（四）

二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题

（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.

（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.

题型4：二次函数“动轴定区间”、