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函数极限运算法则

什么是函数极限

函数极限概述

函数极限是指当函数的自变量无限趋近于某个值时，函数的值无限趋近于某个特定值的过程。

关键概念

函数极限是微积分学中的一个基本概念，它用于研究函数在自变量趋近于某个值时的变化趋势。

函数极限的定义

图形解释

当自变量x无限趋近于某一值a时，函数值f(x)无限趋近于一个确定的数值A，则称A为函数f(x)当x趋近于a时的极限。

数学定义

对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0|x-a|δ时，就有|f(x)-A|ε。

函数极限的性质

1

唯一性

如果函数f(x)在x趋近于a时的极限存在，则该极限值是唯一的。

2

有界性

如果函数f(x)在x趋近于a时的极限存在，则f(x)在x趋近于a的某个邻域内是有界的。

3

保号性

如果函数f(x)在x趋近于a时的极限大于0，则f(x)在x趋近于a的某个邻域内也大于0。

单侧极限与双侧极限

单侧极限

从函数定义域的某一点的左侧或右侧无限接近该点时，函数的值无限接近某个常数，这个常数就叫做函数在这个点的单侧极限。

双侧极限

当函数在某一点的左右两侧极限都存在且相等时，就称该函数在这个点的双侧极限存在。

极限存在的必要条件

左右极限相等

当x趋近于a时，函数f(x)的左极限等于右极限，即lim(x-a-)f(x)=lim(x-a+)f(x)。

函数在a点有定义

函数f(x)在点x=a处有定义，即f(a)存在且为有限值。

函数极限的运算法则

函数极限的运算法则为我们提供了计算函数极限的有效方法，使我们可以更轻松地求解函数极限。

常数乘法

常数与函数极限的乘积等于常数乘以函数极限。

加法

两个函数极限之和等于这两个函数极限的和。

减法

两个函数极限之差等于这两个函数极限的差。

乘法

两个函数极限的乘积等于这两个函数极限的乘积。

常数乘法

1

公式

如果limx→af(x)=A,则limx→a[cf(x)]=cA,其中c为常数。

2

证明

根据极限的定义，对于任意ε0,存在δ0,当0|x-a|δ时，有|f(x)-A|ε/|c|,因此有|cf(x)-cA|ε,即limx→acf(x)=cA。

3

应用

在计算极限的过程中，常数乘法规则简化了运算，并使结果更直观。

加法

定义

两个函数的极限之和等于这两个函数极限的和。

公式

lim[x-a](f(x)+g(x))=lim[x-a]f(x)+lim[x-a]g(x)

举例

例如，lim[x-2](x^2+3x)=lim[x-2]x^2+lim[x-2]3x=4+6=10

减法

1

函数极限

两个函数极限相减，等于它们分别的极限之差

2

公式

lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)

3

条件

limf(x)和limg(x)均存在

乘法

1

极限值相乘

若limf(x)=A，limg(x)=B，则lim[f(x)*g(x)]=A*B

2

常数与函数相乘

若limf(x)=A，则lim[c*f(x)]=c*A

3

函数与函数相乘

若limf(x)=A，limg(x)=B，则lim[f(x)*g(x)]=A*B

除法

1

极限相除

当分母的极限不为0时，两个函数极限的商等于它们的商的极限。

2

分母极限为0

若分母极限为0，则需要进一步分析，可能存在极限，也可能不存在。

3

求极限的方法

可使用化简、约分、洛必达法则等方法。

复合函数

1

定义

若limf(x)=A,limg(x)=B

2

结论

则limg(f(x))=limg(A)=g(B)

3

注意

复合函数的极限值与每个子函数的极限值直接相关。

三角函数的极限

1

基本公式

利用三角函数的基本公式和极限的性质，可以计算各种三角函数的极限。

2

重要极限

一些特殊的三角函数极限，例如sin(x)/x当x趋于0时的极限，是许多其他极限计算的基础。

3

图形化分析

通过观察三角函数的图形，可以直观地理解极限的概念，并推测极限的值。

指数函数的极限

定义

指数函数极限指的是当自变量趋于某个值时，指数函数的值趋于某个特定值。

公式

lim(x-a)e^x=e^a，其中e为自然对数的底，a为实数。

应用

指数函数极限在微积分、概率论、金融等领域都有广泛应用。

对数函数的极限

当x趋于正无穷时

对数函数y=logax(a1)的极限为正无穷

当x趋于0时

对数函数y=logax(a1)的极限为负无穷

当x趋于1时

对数函数y=logax(a1)的极限为0

无穷大的界定

趋于正无穷