专题3.1 椭圆及其标准方程-重难点题型精讲（教师版） .pdf

专题3.1椭圆及其标准方程■重难点题型精讲

按

名见光m兰__________________________________

1.椭圆的定义

(1)定义：平面内与两个定点,歹2的距离的和等于常数(大于成1%|)的点的轨迹叫作椭圆.两个定点叫

作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

(2)椭圆定义的集合表示P={M\MFX+=2q,2q\FxF2\}.

2.椭圆的标准方程

椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

y[

椭圆在坐标乙/1/p声

\F\0Fi)x101f!.

系中的位置//X

\F\

标准方程=l(a60)

ab2ab

焦点坐标F,(-ctO)tF2(c,O)F,(0,-c),F2(O,c)

a,b,c的关系6*=a2—c2b-c2

3.椭圆方程的求解

(1)用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定。2,尸的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.

(2)用待定系数法求椭圆的标准方程

①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待

定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的S人的值，从而确定方程(注意焦点的

位置).

②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点

在轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方

程为力疽+为;2=i(qo,boa^),再解答.

4.椭圆的焦点三角形

(1)焦点三角形的概念

设M是椭圆上一点，,%为椭圆的焦点，当点M,F\,F2不在同一条直线上时，它们构成一个三角形-

焦点三角形，如图所示.

(2)焦点三角形的常用公式

①焦点三角形的周长L=2a+2c.

②在△MFrF2中，由余弦定理可得\FrF2\2=\MF,\2+\MF2\2-2\MFr\|71YF2|•cosZ^M^.

✓y

③设M(x()，此)，ZFlMF2=af则S△咐％=c•|*ol=〃•tan方.

【题型i曲线方程与椭圆】

【方法点拨】

根据所给曲线方程表椭圆，结合椭圆的标椎方程进行求解，即可得出所求.

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【例1】(2022.湖北.高三期末)已知曲线C：3L4=l,则“q0”是“曲线。是椭圆”的()

4a3a2

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

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【变式1-1】(2021-全国•高二专题练习)“lVmV5”是“方程土+土=2表示椭圆”的()

m-l5-m

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要