《函数的极限和连续》课件.pptVIP

函数的极限和连续本课件将带您深入了解函数的极限和连续的概念，以及它们的应用。我们将探讨函数的极限定义，极限的性质，以及如何使用极限判断函数的连续性。

课程导入函数概念函数是数学中重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。极限概念极限描述了函数在自变量趋于某个值时，函数值的变化趋势。连续性概念连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在某个点处是否可以平滑地变化。

函数的概念和表示函数是一种特殊的对应关系，它将一个集合中的元素与另一个集合中的元素一一对应。函数可以通过不同的方式表示，包括：解析式：用数学公式表示函数，例如f(x)=x^2+1图像：用图形表示函数，例如函数图像表格：用表格列出函数的对应关系，例如x和f(x)的对应值

函数的性质单调性函数值随自变量的变化趋势，可以是递增或递减。奇偶性函数图像关于原点对称或关于y轴对称，可分为奇函数和偶函数。周期性函数图像呈周期性重复，在一定范围内呈现相同规律。

函数的分类1按定义域和值域分类函数可根据其定义域和值域的性质进行分类，例如：实函数、复函数、向量函数等。2按表达式分类函数可根据其表达式的形式进行分类，例如：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。3按性质分类函数可根据其性质进行分类，例如：单调函数、奇偶函数、周期函数等。

函数的图像函数的图像可以直观地展现函数的变化趋势，有助于我们理解函数的性质和规律。我们可以通过坐标系上的点来表示函数的自变量和因变量，并将这些点连接起来形成一条曲线，这条曲线就是函数的图像。函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质，以及函数的零点、极值点、拐点等重要性质。

函数的运算1加法两个函数的加法，即对应自变量取值下的函数值相加。2减法两个函数的减法，即对应自变量取值下的函数值相减。3乘法两个函数的乘法，即对应自变量取值下的函数值相乘。4除法两个函数的除法，即对应自变量取值下的函数值相除，但除数不能为零。

函数的极限概念极限的定义函数的极限是描述当自变量趋于某个值时，函数值的变化趋势。极限的本质极限是一个逼近的概念，函数值可以无限接近某个值，但不一定等于该值。

函数极限的计算方法1直接代入法当函数在极限点处连续时，直接代入即可2等价无穷小替换法将极限式中的无穷小用它的等价无穷小替换3洛必达法则当极限式为0/0或∞/∞型时，可利用洛必达法则

函数极限的性质和的极限两个函数的极限之和等于它们各自极限的和。积的极限两个函数的极限之积等于它们各自极限的积。商的极限两个函数的极限之商等于它们各自极限的商（分母的极限不为零）。

无穷大和无穷小无穷大当变量的绝对值无限增大时，函数的值也无限增大，称函数趋向于无穷大。无穷小当变量的绝对值无限增大时，函数的值无限接近于零，称函数趋向于无穷小。

函数的连续性概念连续函数一个函数在某个点连续是指函数在该点附近的值随着自变量的改变而平滑地变化，没有突变或间断。形象理解想象一辆汽车在一条平坦的公路上行驶，如果汽车在某一点突然跳跃或停下来，我们就可以说它在这个点不连续。

连续函数的性质1介值定理在闭区间上连续的函数，其函数值在区间端点值之间取遍所有值.2最大值和最小值定理在闭区间上连续的函数，在该区间上一定取得最大值和最小值.3一致连续性在闭区间上连续的函数，在该区间上一定是一致连续的.

函数间歇性和间断点间歇性函数定义域内存在间断点的函数称为间歇函数。间断点是函数图像出现跳跃或断开的地方。间断点类型间断点主要分为三类：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。

函数间断点的判定1极限存在判断函数在该点是否存在极限2极限值与函数值判断极限值是否等于函数值3间断点类型根据极限值和函数值确定间断点类型

函数连续性的应用函数连续性可以帮助我们理解和分析函数的图像，例如判断函数是否有间断点，以及函数在某个点处的取值情况。函数连续性在数值计算中也有重要应用，例如使用牛顿迭代法求解方程的根，以及利用积分公式求解函数的定积分。函数连续性在优化问题中发挥着关键作用，例如求解函数的最值，以及设计最优的生产方案。

一边极限的概念左极限当自变量x从左侧无限接近于a时，函数f(x)无限接近于一个确定的值A，则称A为函数f(x)当x趋近于a时的左极限，记为：limx→a-f(x)=A右极限当自变量x从右侧无限接近于a时，函数f(x)无限接近于一个确定的值B，则称B为函数f(x)当x趋近于a时的右极限，记为：limx→a+f(x)=B

函数单侧极限的计算定义法利用函数单侧极限的定义，直接计算函数值的变化趋势。图形法观察函数图像，确定函数在趋近于某个点的左侧或右侧时，函数值的变化趋势。极限法则应用函数极限的性质和法则，简化计算过程。

函数单侧极限的性质唯一性如果函数在一点的左右极限都存在且相等，则该点处的极限存