创新点6　解析几何中的融合创新问题.docx

解析几何中的融合创新问题

高考定位解析几何创新问题的表现形式有：(1)与其他数学知识融合，如立体几何、导数等；(2)定义新的解析几何概念，如距离、曲线等.解决解析几何创新题理解新定义是基础、计算是关键.

【题型突破】

题型一解析几何与数列、立体几何高度融合

例1(2024·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：x2－y2＝m(m0)，点P1(5，4)在C上，k为常数，0k1.按照如下公式依次构造点Pn(n＝2，3，…)：过点Pn－1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn－1，令Pn为Qn－1关于y轴的对称点.记Pn的坐标为(xn，yn).

(1)若k＝eq\f(1,2)，求x2，y2.

(2)证明：数列{xn－yn}是公比为eq\f(1＋k,1－k)的等比数列.

(3)设Sn为△PnPn＋1Pn＋2的面积.证明：对于任意正整数n，Sn＝Sn＋1.

(1)解∵P1在C上，∴m＝52－42＝9，故k＝eq\f(1,2)时，

有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,2)＝9，,y2－4＝\f(1,2)（x2－5），))

解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝3，,y2＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝5，,y2＝4))(舍)，

∴x2＝3，y2＝0.

(2)证明设Pn(xn，yn)，Qn(－xn＋1，yn＋1)，

直线PnQn斜率为k.

设zn＝xn－yn，

∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,n)－yeq\o\al(2,n)＝9，,xeq\o\al(2,n＋1)－yeq\o\al(2,n＋1)＝9，))

则eq\f(（yn＋1－yn）（yn＋1＋yn）,（xn＋1－xn）（xn＋1＋xn）)＝1，

结合eq\f(yn＋1－yn,－xn＋1－xn)＝k，

得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(yn＋1－yn＝－k（xn＋1＋xn），,xn＋1－xn＝－k（yn＋1＋yn），))

两式相减，得zn＋1－zn＝k(zn＋1＋zn)，

∴eq\f(zn＋1,zn)＝eq\f(1＋k,1－k)，

∴数列{xn－yn}是公比为eq\f(1＋k,1－k)的等比数列.

(3)证明要证Sn＋1＝Sn，

即证S△PnPn＋1Pn＋2＝S△Pn＋1Pn＋2Pn＋3，

这等价于Pn＋1Pn＋2∥PnPn＋3.

设eq\f(1＋k,1－k)＝q，

由(2)知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xn－yn＝qn－1，,xn＋yn＝9·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)))\s\up12(n－1)，))

∴xn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(qn－1＋9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)))\s\up12(n－1)))，yn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)))\s\up12(n－1)－qn－1))，

∵kPn＋1Pn＋2＝eq\f(yn＋2－yn＋1,xn＋2－xn＋1)＝eq\f(（xn＋2－qn＋1）－（xn＋1－qn）,xn＋2－xn＋1)

＝1－eq\f(2qn（q－1）,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(qn＋1＋9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)))\s\up12(n＋1)))－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(qn＋9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)))\s\up12(n))))

＝1－eq\f(2qn（q－1）,qn（q－1）＋9\f(1－q,qn＋1))

＝1－eq\f(2q2n＋1,q2n＋1－9)，

kPnPn＋3＝eq\f(yn＋3－yn,xn＋3－xn)＝eq\f(（xn＋3－qn＋2）－（xn－qn－1）,xn＋3－xn)

＝1－eq\f(2qn－1（q3－1）,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(qn＋2＋9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)))\s\up12(n＋2)))－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(qn－1＋9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)))\s\up12(n－1))))

＝1－eq\f(2qn－1（q3－1）,qn－1（q3－1）＋9\f(