2024年高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题13坐标系与参数方程文含解析.docxVIP

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专题13坐标系与参数方程

1．【2024年高考北京卷文数】已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，可将直线化为一般方程：，即，即，所以点（1，0）到直线的距离，故选D．

【名师点睛】本题考查直线参数方程与一般方程的转化，点到直线的距离，属于简洁题，注意基础学问、基本运算实力的考查．

2．【2024年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

【答案】（1）；的直角坐标方程为；（2）．

【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为．

的直角坐标方程为．

（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）．

C上的点到的距离为．

当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为．

【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采纳参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．

3．【2024年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P．

（1）当时，求及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

【答案】（1），l的极坐标方程为；

（2）．

【解析】（1）因为在C上，当时，．

由已知得．

设为l上除P的随意一点．在中，，

经检验，点在曲线上．

所以，l的极坐标方程为．

（2）设，在中，即．

因为P在线段OM上，且，故的取值范围是．

所以，P点轨迹的极坐标方程为．

【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．

4．【2024年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．

（1）分别写出，，的极坐标方程；

（2）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标．

【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为．

（2）或或或．

【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，．

所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为．

（2）设，由题设及（1）知

若，则，解得；

若，则，解得或；

若，则，解得．

综上，P的极坐标为或或或．

【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思索量不高，运算量不大，属于中档题．

5．【2024年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为．

（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．

【答案】（1）；（2）2．

【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3，），B（，），

由余弦定理，得AB=．

（2）因为直线l的方程为，

则直线l过点，倾斜角为．

又，所以点B到直线l的距离为．

【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础学问，考查运算求解实力．

6．【重庆西南高校附属中学校2025届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程；

（2）若直线的极坐标方程为，直线与轴的交点为，与曲线相交于两点，求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）曲线的一般方程为：，

曲线的一般方程为：，即，

由两圆心的距离，所以两圆相交，

所以两方程相减可得交线为，即．

所以直线的极坐标方程为．

（2）直线的直角坐标方程：，则与轴的交点为，

直线的参数方程为，带入曲线得．

设两点的参数为，，

所以，，所以，同号．

所以

【点睛】本题考查了极坐标，参数方程和一般方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题．

7．【山东省郓城一中等学校2025届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为．

（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的一般方程；

（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）因为直线l的极坐标方程为，

即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

可得直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0．

将曲线C的参数方程，消去参数a，

得曲线C的一般方程为．

（2）设N（，sinα），α∈[0，2π）．

点M的极坐标（，），化为直角坐标为（－2，2）．

则．

所以点P到直线