数值分析常微分方程初值问题的.ppt

定义若某算法在计算过程中任一步产生的误差在以后的计算中都逐步衰减，则称该算法是绝对稳定的/*absolutelystable*/。一般分析时为简单起见，只考虑试验方程/*testequation*/常数，可以是复数当步长取为h时，将某算法应用于上式，并假设只在初值产生误差，则若此误差以后逐步衰减，就称该算法相对于绝对稳定，的全体构成绝对稳定区域。我们称算法A比算法B稳定，就是指A的绝对稳定区域比B的大。hlh=h第18页,共34页，星期六，2024年，5月例：考察显式欧拉法由此可见，要保证初始误差?0以后逐步衰减，必须满足：0-1-2ReImg例：考察隐式欧拉法可见绝对稳定区域为：210ReImg注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。第19页,共34页，星期六，2024年，5月第二节高精度的单步法在高精度的单步法中,应用最广泛的是Runge-Kutta(龙格-库塔)方法一、Runge-Kutta法的基本思想（1）第20页,共34页，星期六，2024年，5月第21页,共34页，星期六，2024年，5月Runge-Kutta法的基本思想（2）第22页,共34页，星期六，2024年，5月第23页,共34页，星期六，2024年，5月Runge-Kutta法的基本思想（3）第24页,共34页，星期六，2024年，5月二、二阶龙格－库塔方法第25页,共34页，星期六，2024年，5月第26页,共34页，星期六，2024年，5月第27页,共34页，星期六，2024年，5月第28页,共34页，星期六，2024年，5月三、三阶龙格－库塔方法第29页,共34页，星期六，2024年，5月四、四阶龙格－库塔方法第30页,共34页，星期六，2024年，5月第31页,共34页，星期六，2024年，5月第32页,共34页，星期六，2024年，5月两点说明:第33页,共34页，星期六，2024年，5月五、变步长的龙格—库塔方法第34页,共34页，星期六，2024年，5月数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-ValueProblem*/:只要f(x,y)在[a,b]?R1上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L使对任意定义在[a,b]上的y1(x)和y2(x)都成立，则上述IVP存在唯一解。要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0x1…xn=b处的近似值节点间距为步长，通常采用等距节点，即取hi=h(常数)。第一节求解初值问题数值方法的基本原理数值解(10-1)一、初值问题的数值解第2页,共34页，星期六，2024年，5月求解(10-1)最基本的方法是单步法单步法:从初值开始,依次求出,后一步的值只依靠前一步的，是一种逐点求解的离散化方法。典型的单步法是Euler(欧拉)方法,其计算格式是:例:求解常微分方程初值问题第3页,共34页，星期六，2024年，5月由此可见,Euler公式的近似值接近方程的精确值.第4页,共34页，星期六，2024年，5月x0x1向前差商近似导数记为二、构造初值问题数值方法的基本途径以Euler法为例说明构造IVP问题数值方法的三种基本途径1.数值微分法,用差商代替微商亦称为欧拉折线法2.Taylor展开法第5页,共34页，星期六，2024年，5月忽略高阶项,取近似值可得到Euler公式3.数值积分法区间将区间积分第6页,共34页，星期六，2024年，5月隐式欧拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似导数x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+?由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*expl