6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例-2021-2022学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）.docVIP

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高一数学《考点?题型?技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)

6.4.1-6.4.2平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例

【考点梳理】

考点一向量方法解决平面几何问题的步骤

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

考点二向量方法解决物理问题的步骤

用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：

(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.

(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.

(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.

(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.

技巧：(1)用向量法求长度的策略

①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解.

②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2).

(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想

①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解.

②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.

【题型归纳】

题型一：用向量证明线段垂直问题

1．（2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一阶段练习）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

2．（2021·四川省内江市第六中学高一期中）已知非零向量与满足，且，则为（）

A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

题型二：用向量解决夹角问题

3．（2021·广东·佛山市南海区里水高级中学（待删除学校不要竞拍）高一阶段练习）在中，，，动点位于直线上，当取得最小值时，的正弦值为（）

A． B． C． D．

4．（2019·四川·绵阳中学高一阶段练习）直角三角形中，，，，M为的中点，，且P为与的交点，则（）

A． B． C． D．

题型三：用向量解决线段的长度问题

5．（2021·江西·九江一中高一期中）在中，，点满足，若，则的值为（）

A． B． C． D．

6．（2021·重庆南开中学高一期中）如图所示在四边形中，是边长为4的等边三角形，，，，则（）

A． B． C．3 D．

题型四：向量与几何最值问题

7．（2021·江西·九江一中高一期中）在直角梯形中，，，，，，点是线段上的一点，为直线上的动点，若，，且，则的最大值为（）

A． B． C． D．

8．（2021·河北邢台·高一阶段练习）在平面四边形中，，，，，，若点为边上的动点，则的最大值为（）

A． B． C． D．

题型五：向量在物理中的应用

9．（2021·山东潍坊·高一期中）在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（）

A． B．当时，

C．当角越大时，用力越省 D．当时，

10．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（）

A．船头方向与水流方向垂直 B．

C． D．该船到达对岸所需时间为分钟

题型六：平面向量应用的综合问题

11．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证：

（1）BE⊥CF;

（2）AP=AB.

12．（2021·江苏·高一课时练习）如图，在中，，，点在的延长线上，点是边上的一点，且存在非零实数，使.

（Ⅰ）求与的数量积；

（Ⅱ）求与的数量积.

13．（2018·全国·高一单元测试）如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=BM.

(1)求证:M是CD的中点;

(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求的最小值.

【双基达标】

一、单选题

14．（2021·全国·高一课前预习）在中，，则的形状是（）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定

15．