高中数学人教A版必修第二册：平面向量基本定理教学设计.docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高一

学期

春季

课题

6.3.1平面向量基本定理

教学目标

1.经历平面向量基本定理的形成过程，体会从提出问题，到观察猜想，再到推理验证，然后概括总结，进而完善发展的数学研究过程；

2.通过与向量共线定理的比较，提高对知识体系的整体认识,体会平面向量基本定理的价值.

教学重难点

教学重点：

1.对平面向量基本定理的探究和理解.

教学难点：

1.如何有效实施探究过程；

2.对平面向量基本定理中任意性、存在性、唯一性的理解.

教学过程

一、回顾导思，提出问题

回顾:平面向量的概念、线性运算及共线定理.

由向量共线定理可知：如果一个非零向量a与向量b共线，存在唯一的实数λ，使得b=λa.

即与非零向量a共线的向量都可以用向量a表示.那与向量a不共线的向量能否用向量a表示呢？

提出问题1：平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？

回顾物理学知识：已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力．我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力F分解为多组大小、方向不同的合力.

类似地，我们能否通过作平行四边形，将向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢？

二、新知定思，建构数学

（一）观察猜想

探究1如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.将a按e1，e2的方向分解，你有什么发现？

发现:存在实数λ1和λ2使得向量a可以表示为：a=λ1e1+λ2e2

思考1给出另一个与e1，e2都不共线的a，还能这样表示吗？

思考2当a是与e1或e2共线的非零向量时，能这样表示吗？

思考3当a是零向量，也能这样表示吗？

结论1：e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，平面上任意一个向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2.

探究2如果给定的两向量e1，e2共线，还能用来表示这平面内的任何一个向量吗？

结论2：只有e1，e2不共线，才可以用来表示平面内的任意向量.

（二）推理论证

探究3现在我们知道，平面内任何一个向量a，都可以用两个不共线的向量e1，e2表示为a=λ1e1+λ2e2.这种表示方法中，这样的实数λ1，λ2是唯一的吗？如何证明？

结论3：有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2成立.

（三）概括总结

问题2你能把上述探究发现的结果，用数学语言描述出来吗？

平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．

若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

问题3这个定理与平行向量基本定理有什么联系？

三、典例深思，运用数学

例1如图，不共线，且（），用表示.

例2如图，CD是△ABC的中线，且CD＝AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形．

四、归纳反思，理解数学

五、课后延思，提升素养

（一）平面内的任一向量都可以用一组不共线的向量做基底来线性表示，通过化未知为已知，化任意为统一，实现了运算的简化。为了方便起见，你会选择什么样的向量做基底呢？

（选）（二）能否进一步拓展视野，将向量由二维推广到三维，建立相应的空间向量的概念、运算及其性质呢？实际上，早在19世纪，数学家就已经将平面向量扩展到了空间向量，并给出了空间向量的表示方法，运算法则，也建立了相应的理论.请同学们独立的完成下面的研究工作：

（1）给出空间向量的概念及空间向量的线性运算法则；

（2）给出空间向量基本定理；

（3）查阅有关资料，完善你的研究成果.