《线性代数》 课件 黄先开 第1章 行列式 .pptx

《线性代数》配套课件;第一章行列式;§1.1行列式的概念;分子分母都是统一的形式,引入记号

并称之为二阶行列式.

记忆法则:

;有了这个记号,原方程组

的解可以写成

其中,

;例1求解二元线性方程组

解

故方程组的解为

;三阶行列式;

记忆法则:

;

例2计算三阶行列式

解按对角线法则,有

;例3解方程

解

由解得或

;排列及逆序数;定义3称逆序数为奇数的排列为奇排列；称逆序数为偶数的排列为偶排列.

例4求排列35142的逆序数.

解从最左边的数开始,依次数一下后面有几个比它小的数:

例5求排列的逆序数.

解;

定义4在一个n级排列中,交换某两个元素的位置,而其余元素的位置保持不变,就得到另一个n级排列,称这种变换为一次对换.

定理1对一个排列中的任意两个元素进行一次对换,改变排列的奇偶性.

定理2全部n(n1)级排列中,奇、偶排列的个数皆为

;n阶行列式的定义;定义5把n2个元素组成的记号

称为n阶行列式,且

;注意:

展开式共有n!项,带正号和带负号的项各占一半.

n阶行列式有时也简记为或

当n=1时,定义一阶行列式注意不要与绝对值的记号相混淆.

行列式是一个数!

;例6计算n阶行列式

解根据行列式的定义,每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积.考虑有可能不为零的项,可知只有一种可能,所以

;主对角线上方的元素都为0的行列式称为下三角形行列式.例6中的行列式为下三角形行列式.主对角线下方的元素都为0的行列式称为上三角形行列式.主对角线上方和下方都为0的行列式称为对角形行列式.同理也有

;例7计算四阶行列式

解根据行列式的定义,取不同行不同列的元素相乘,由于零元素比较多,不为零的项只有???种可能:

;

例8若是五阶行列式D的一项,试确定i,j的值.

解由行列式的定义知,是取自不同行不同列的元素,所以或而

题中符号是负号,可知应选

;

下面给出n阶行列式的另一种定义形式：

定理3

;§1.2行列式的性质;

性质1行列式与它的转置行列式相等,即

由性质1可知,在行列式中行与列的地位相同,凡对行成立的性质对于列也同样成立,反之亦然.

性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.

推论若行列式有两行（列）元素完全相同,则此行列式等于零.

;性质3行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k,等于用数k乘此行列式,即

推论1行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.

推论2行列式中若有两行（列）的对应元素成比例,则此行列式等于零.

;性质4若行列式第i行（列）的各元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别以这两个数作为第i行（列）对应位置的元素,其它位置的元素与原行列式相同,即

;性质5把行列式某一行（列）的各元素乘以数k加到另一行（列）对应的元素上去,行列式不变,即

;

例1若求

解

;利用行列式的性质,可以将一个复杂的行列式化为上