衡中学案新高考版备战2025高考数学一轮复习第10章　第7讲　正态分布.pptx

;第七讲正态分布;知识梳理·双基自测;知识梳理·双基自测;X～N(μ，σ2);上方;知识点二正态分布

1．正态分布的定义及表示．

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝ ，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．

特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布，即X～N(0,1)．;2．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(3σ原则)：

①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________；

②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_________；

③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_________.

σ原则：主要用于判定产品质量是否合格，机器运行是否正常等，也就是说3σ之外的概率是小概率事件，如果发生了说明产品不合格、机器运行不正常等．;归纳拓展

对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知

(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；

(2)对任意的a有P(Xμ－a)＝P(Xμ＋a)；

(3)P(Xx0)＝1－P(x≥x0)；

(4)P(aXb)＝P(Xb)－P(X≤a)．

注：在X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)时，要充分利用正态曲线的关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1.;双基自测

题组一走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．()

(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．();√;题组二走进教材

2．(选择性必修3P87T2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,52)，则P(165X≤180)＝__________.;题组三走向高考

3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2X≤2.5)＝0.36，则P(X2.5)＝____________.

[解析]因为X～N(2，σ2)，所以P(X2)＝P(X2)＝0.5，因此P(X2.5)＝P(X2)－P(2X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.;C;5．(2021·全国新高考Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是()

A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大

B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D．σ越小，该物???量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等;[解析]对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；

对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；

对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；

对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D．;考点突破·互动探究;正态分布的性质——自主练透;则下列结果正确的是()

A．D(X)＝6

B．μ1μ2

C．P(X≤38)P(Y≤38)

D．P(X≤34)P(Y≤34);2．(2022·河北唐山模拟)已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，随机变量Y服从正态分布N(1,1)，且P(X1)＝0.1587，则P(1Y2)＝()

A．0.1587 B．0.3413

C．0.8413 D．0.6587;[解析]由正态曲线的性质知，随机变量X、Y的正态曲线形状相同，(如图)．

由题意P(Y2)＝P(X1)＝0.1587，

∴P(1Y2)＝0.5－0.1587＝0.3413.

故选B．;3．已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，则E(2ξ＋1)与D(2ξ＋1)的值分别为()

A．13,4 B．13,8

C．7,8 D．7,16

[解析]由已知得E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，故E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.故选D．;正态分布——多维探究;角度2确定正态曲线的对称轴

(2022·福建模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X3)＋P(X≤1)＝1，则μ＝______.

[解析]因为X服从正态分布N(μ，σ2)，所以P(X3)＋P(X≥3)＝1，