微分法在几何上的应用.ppt

第六节、多元函数微分学的几何应用第六节、多元函数微分学的几何应用二、曲面的切平面与法线一、空间曲线的切线与法平面三、小结、思考题四、作业第六节、多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程其中在上可导。设在上取一点（对应于参数及邻近一点（对应于参数上式分母同除以割线的方程为当沿趋于时，割线的极限位置称为曲线在点处的切线。切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.曲线在处的切线方程法平面：点且与切线垂直的平面。过例1求曲线解切线方程法平面方程在处的切线和法平面方程。1.空间曲线方程为法平面方程为特殊地：则取为参数，即它可以表示为参数方程切线方程为2.空间曲线方程为为),,(000zyxM上的一点，是属于类的函数,且则方程组（2）在点),,(000zyxM的某邻域内确定了一组函数于是切线方程为法平面方程为是曲线在点处的切向量。也可以取为例2求曲线在点处的切线及法平面方程。解设在点处切向量为所求切线方程为法平面方程为点即例3求球面与锥面所截出的曲线在点处的切线与法平面方程。解将所给方程组两边对求导并移项得即所求切线方程为0,M=从而所求法平面方程为z￠二、曲面的切平面与法线一点，设曲面方程为通过点的曲线为曲面上上任取一条在曲面并设的偏导数在该点连续且不同时为零.处的切向量它们在点处的切线都在事实上，对应于且不全为零，则曲线在因为曲线完全在曲面上，因在点处有连续偏导数，存在，所以且在曲面上通过点M且在点M处具有切线的任何曲线，同一平面上。所以上式左边的复合函数在令则由于曲线是曲面上通过M的任意一条曲线，曲面上通过M的一切曲线在点M的切线都在同一平面上，切平面.M的切线都与同一向量垂直，它们在M的这个平面称为曲面在点故于是即有时有全导数，切平面方程为法线方程为垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的通过点),,(000zyxM而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法向量.曲面在处的法向量为特殊地：空间曲面方程形为令曲面在处的切平面方程为曲面在处的法线方程为切平面上点的竖坐标的增量全微分的几何意义因为曲面z=f(x,y)在M处的切平面方程为在的全微分，表示在点处的曲面切平面上的点的竖坐标的增量.函数在点的全微分表示曲面的法向量的方向角，其中若a、b、g并假定法向量的方向是向上的，轴的正向所成的角g是锐角，方向余弦为z即使得它与则法向量的求椭球面解切平面方程为法线方程为例4在点切平面及法线方程。处的令求曲面例5在点处的切平面和法线方程。解切平面方程为法线方程为例6求曲面解令切平面方程法线方程在点切平面及法线方程.处的例7求曲面解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得平行于平面的各切平面方程.因为是曲面上的切点，所求切点为满足方程,切平面方程及切平面方程第六节、多元函数微分学的几何应用第六节、多元函数微分学的几何应用*