2025年新高考数学一轮复习高频考点精讲解析—函数的奇偶性、周期性和对称性(基础+重难点).pdfVIP

2025年新高考数学一轮复习高频考点精讲解析—函数的奇偶性、周期

性和对称性(基础+重难点)

①函数的奇偶性及其应用

②函数的周期性

③函数的对称性

★④函数性质的综合应用

一、必备知识整合

一、函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

如果对于函数的定义域内任意一个，都有，

f(x)xf(x)f(x)

关于轴对称

偶函数y

那么函数f(x)就叫做偶函数

x

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有f(x)

f(x)，

奇函数关于原点对称

那么函数f(x)就叫做奇函数

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，

xx

也在定义域内即定义域关于原点对称．()

二、函数的对称性

(1)若函数yf(x＋a)为偶函数，则函数yf(x)关于xa对称．

(2)若函数yf(x＋a)为奇函数，则函数yf(x)关于点(a，0)对称．

(3)若f(x)f(2ax)，则函数f(x)关于xa对称．

(4)若f(x)＋f(2ax)2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．

三、函数的周期性

x

（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都

yf(x)T

有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.

f(xT）f(x)yf(x)T

（2）最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做

f(x)的最小正周期.

1.奇偶性技巧

（1）若奇函数yf(x)在x0处有意义，则有f(0)0；

（2）对于运算函数有如下结论：

①奇奇奇；



②偶偶偶；



③奇偶非奇非偶；



④奇()奇偶；

⑤奇()偶奇；

⑥偶()偶偶.

（3）常见奇偶性函数模型

奇函数：

xx

a1a1

①函数f(x)m(x)(x0)或函数f(x)m(x)．

a1a1

②函数xx．

f(x)(aa)

xm2mxm