二微分运算法则.ppt

YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY运行时,点击“注意----”或“注意”按钮,可显示反问题的例,运行完后自动返回二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念机动目录上页下页返回结束函数的微分第二章一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x在取得增量时,变到其边长由机动目录上页下页返回结束的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即定理:函数在点可微的充要条件是即在点可微,机动目录上页下页返回结束定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即机动目录上页下页返回结束定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则机动目录上页下页返回结束说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当机动目录上页下页返回结束微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记机动目录上页下页返回结束例如,机动目录上页下页返回结束基本初等函数的微分公式(见P115表)又如,二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)分别可微,的微分为微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数机动目录上页下页返回结束例1.机动目录上页下页返回结束解:02求01例2.设注意目录上页下页返回结束说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.解:利用一阶微分形式不变性,有例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:注意:数学中的反问题往往出现多值性.求数学中的反问题往往出现多值性,例如三、微分在近似计算中的应用机动目录上页下页返回结束得近似等式:很小时,当使用原则:特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得机动目录上页下页返回结束例4.求机动目录上页下页返回结束取则解:设的近似值.例5.计算机动目录上页下页返回结束的近似值.01解:02例6.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为镀铜体积为V在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,四、微分在估计误差中的应用机动目录上页下页返回结束某量的精确值为A,01其近似值为a,02称为a的绝对误差03称为a的相对误差04若05称为测量A的绝对误差限06称为测量A的相对误差限07按公式机动目录上页下页返回结束若直接测量某量得x,相对误差限约为故y的绝对误差限约为计算y值时的误差已知测量误差限为误差传递公式:EDCBAF例7.设测得圆钢截面的直径机动目录上页下页返回结束测量D的01绝对误差限02欲利用公式03圆钢截面积,04解:05计算A的绝对误差限约为06A的相对误