（人教版）数学七年级下册同步精品讲义5.5 铅笔头模型 锯齿模型 翘脚模型（解析版）.doc

5.5铅笔头模型、锯齿模型、翘脚模型

模型一：铅笔头模型

【铅笔头模型基础】已知AB∥DE，结论：∠B+∠C+∠E=360°

证明1：过点C作CK∥AB（见拐点作平行线）

∵AB∥DE∴AB∥DE∥CK

∴∠B+∠1=180°，∠E+∠2=180°而∠C=∠1+∠2

∴∠B+∠C+∠E=360°

【铅笔头模型变形】

变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠N+∠E=540°

变式二：若a∥b，则∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐点数+1）

模型二：锯齿模型

【锯齿模型基础】已知AB∥DE，则∠B+∠E=∠C

证明：过点C作CK∥AB

∵AB∥DE∴AB∥DE∥CK

∴∠B=∠1①，∠E=∠2②

①+②得∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠C

【锯齿模型变形】

变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠E=∠C+∠N

变式二：若a∥b，则所有朝左角之和等于所有朝右角的和。

模型三：翘脚模型

模型一：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为:∠1=∠2+∠3

模型二：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为:∠1+∠3-∠2=180°

?

【题型一】铅笔头模型

【典题】（2022春·福建三明·七年级统考期中）如图，a//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3的度数是（????）

A．115° B．110° C．105° D．100°

【答案】C

【分析】过作，根据平行线的性质即可得到结论．

【详解】解：过作，

，

，

，

，

，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．

巩固练习

1（?）（2022春·福建厦门·七年级校考阶段练习）如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（????）

A．540° B．180°n C．180°(n-1) D．180°(n+1)

【答案】C

【分析】根据题意，作，，，由两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案．

【详解】解：根据题意，作，，，

∵，

∴，，，……

∴，……

∴；

故选：C．

【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明．

2（?）（2022春·山东聊城·七年级校考阶段练习）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．

【答案】270°

【分析】过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解．

【详解】过B作BF∥AE，

∵CD∥AE，

则CD∥BF∥AE，

∴∠BCD+∠1=180°，

又∵AB⊥AE，

∴AB⊥BF，

∴∠ABF=90°，

∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．

故答案为：270．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．

3（?）（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图，已知，，，则___度．

【答案】65°

【分析】过点作∥，根据平行公理得，再依据平行线的性质求角即可．

【详解】解：过点作∥，如图：

，

．

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是依据平行公理作辅助线，熟练运用平行线的性质解决问题

4（??）（2022春·山东日照·七年级校考期中）问题情境：如图1，，，．求度数．

小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得．

问题迁移：

（1）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系?请说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系．

【答案】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β?∠α；②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α?∠β

【分析】（1）过点P作PE∥AD交CD于点E，根据题意得出AD∥PE∥BC，从而利用平行线性质可知=∠DPE，=∠CPE，据此进一步证明即可；

（2）根据题意分当点P在A、M两点之间时以及当点P在B、O两点之间时两种情况逐一分析讨论即可.

【详解】（1）∠CPD=，理由如下：

如图3，过点P作PEAD交CD于点E，

∵ADBC，PEAD

∴ADPEBC

∴=∠DPE，=∠CPE

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=；

（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=，理由如下：

如图4，过点P作PEAD交CD于