培优点07　隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形（3大考点+强化训练）解析版.docx

培优点07隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形（3大考点+强化训练）

在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档．

知识导图

考点分类讲解

考点一隐圆(阿波罗尼斯圆)

“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(－a,0)，B(a,0)(a0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ2＋1,λ2－1)a，0))为圆心，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2aλ,λ2－1)))为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆．

规律方法对于动点的轨迹问题，一是利用曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义识别动点的轨迹，二是利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹．

【例1】(多选）（2023·贵州铜仁·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（且）的点的轨迹是圆”．人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足．设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（????）

A．轨迹C的方程为

B．轨迹C与圆M：有两条公切线

C．轨迹C与圆O：的公共弦所在直线方程为

D．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线

【答案】ACD

【分析】

设，根据题意运用两点间距离公式列出方程，化简得轨迹C的方程，可判断选项A；判断两圆的位置关系即可判断选项B；根据两圆公共弦的求法可判断选项C；由角平分线定理的逆定理可判断选项D.

【详解】

如图：

对于选项A，因为在平面直角坐标系中，，，点满足.

设，则，化简可得，故选项A正确；

对于选项B，由可得圆心，半径；

由圆M：可得圆心，半径.

由两点间距离公式得，即.

所以两圆外切，有3条公切线，故选项B错误；

对于选项C，因为，

所以两圆相交.

则两圆方程相减可得：它们的公共弦所在直线方程为，故选项C正确；

对于选项D，因为，

所以点在圆C上.，即.

所以由角平分线定理的逆定理可得：当A，B，P三点不共线时，射线是的平分线，故D正确.

故选：ACD．

【变式1】（2023·四川成都·模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据阿氏圆的定义分析得P点轨迹为球与侧面的交线，计算其弧长即可

【详解】在图1中，以B为原点建立平面直角坐标系，如图2所示，

设阿氏圆圆心为，半径为r.因为，所以，

所以.

设圆O与AB交于点M.由阿氏圆性质，知.

又，所以.又，

所以，解得，所以，

所以点P在空间内的轨迹为以O为球心，半径为4的球.

当点P在侧面内部时，如图2所示，截面圆与，分别交于点M，R，

所以点P在侧面内的轨迹为.

因为在中，，，所以，

所以，所以点P在侧面内部的轨迹长为.

??

故选：B.

【变式2】（2023·四川成都·模拟预测）已知平面上两定点，则所有满足且的点的轨迹是一个圆心在直线上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为6的正方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】以为原点建立平面直角坐标系，结合题意可得点在空间内的轨迹为以为球心，半径为4的球.再根据球的性质求解即可.

【详解】在图1中，以为原点建立平面直角坐标系如图2所示，设阿氏圆圆心为，半径为.

因为，所以，所以.

设圆与交于点.由阿氏圆性质，知.

又，所以.又，所以，解得，所以，所以点在空间内的轨迹为以为球心，半径为4的球.

①当点在面内部时，如图2所示，截面圆与分别交于点，所以点在面内的轨迹为.因为在Rt中，，所以，所以，所以点在面内部的轨迹长为.

②同理，点在面内部的轨迹长为.

③当点在面内部时，如图3所示，因为平面，所以平面截球所得小圆是以为圆心，以长为半径的圆，截面圆与分别交于点，且，所以点在面内的轨迹为，且.

综上，点的轨迹长度为.

??

故选：C

【变式3】(多选)在平面直角坐标系中，A(－1,0)，B(2,0)，动点C满足eq\f(|CA|,|CB|)＝eq\f(1,2)，直线l：mx－y＋m＋1＝0，则()

A．动点C的轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝4

B．直线l与动点C的轨迹一定相交

C．动点C到直线l距离的最大值为eq\r(2)＋1

D．若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点