广东省2025届普通高中毕业生第四届久洵杯一月调研测试数学试卷.docx

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广东省2025届普通高中毕业生第四届久洵杯一月调研测试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在复平面内，对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2．已知向量满足，则（????）

A．2 B． C． D．3

3．设集合，则中所有元素之和为（????）

A．3 B．8 C．9 D．12

4．已知，设命题，命题，则是的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．若函数关于直线对称，则（????）

A．1 B．3 C．5 D．7

6．已知圆柱与圆锥的体积与侧面积均相等，若的轴截面为等腰直角三角形，则与的底面半径之比为（????）

A． B． C． D．

7．若，则（????）

A． B． C． D．

8．设椭圆的右焦点为.为上一点，的半径为，过作轴的垂线，交于两点，在的左侧.记的离心率为，点轨迹的离心率为，点轨迹的离心率为，则（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知正四面体的棱长为，则（????）

A．

B．与的距离为

C．二面角的正弦值为

D．正四面体的体积为

10．设双曲线的左、右顶点分别为为上一点，且位于第一象限，直线交轴于点，记的面积为，则（????）

A．

B．

C．若，则

D．若，则

11．已知函数的定义域为，其中为给定的常数，且不为常函数，则（????）

A．

B．当时，为奇函数

C．或1是存在的充要条件

D．当时，没有最值

三、填空题

12．曲线在点处的切线方程为.

13．若样本数据的平均数为的平均数为22，则样本数据的方差为.

14．设为正整数，从集合的所有二元子集中任取两个，记为，，其中与可以相同.在平面直角坐标系中，记直线与直线的四个交点分别为，则以为顶点的四边形为正方形的概率为.（用含的代数式表示）附参考公式：

四、解答题

15．如图，在直三棱柱中，.

(1)证明：平面平面；

(2)若为中点，求平面与平面夹角的正弦值.

16．设抛物线的焦点为.已知到直线的距离为，过的直线交于两点.

(1)求的方程；

(2)已知点，直线交于点.若，求的面积.

17．记的内角的对边分别为.已知，.外一点满足，且的角平分线交于点.

(1)求；

(2)证明：；

(3)若，求.

18．已知函数，函数.

(1)讨论和的单调性；

(2)记函数，若为减函数，且存在，使得，求的取值范围.

19．对于一个单调递增的正整数数列，若对于任意不小于2的正整数不能表示为中若干不同项之和，则称为“好数列”.

(1)若数列满足，记集合，中的元素由小到大排列得到数列，列举的前五项，并判断是否为“好数列”，若是，给出证明；若不是，请说明理由；

(2)已知为“好数列”，对于给定的正整数，若存在正整数，使得，则记，设为的前项和.

（i）证明：；

（ii）证明：对任意的正整数，有.

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《广东省2025届普通高中毕业生第四届久洵杯一月调研测试数学试卷》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

C

C

A

B

C

D

D

ABD

BC

题号

11

答案

BCD

1．D

【分析】由复数的除法法则计算结合复数的几何意义即可求解.

【详解】对应的点坐标是位于第四象限，

故选：D

2．C

【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及向量数量积运算律计算得解.

【详解】由，得，则，

所以.

故选：C

3．C

【分析】先根据分式及一元二次不等式求出集合A，再应用交集的定义运算即可.

【详解】因为，

又因为，所以

则中所有元素之和为.

故选：C.

4．A

【分析】结合基本不等式即可证明充分性成立，用特值检验即可说明必要性不成立.

【详解】取,满足,但，必要性不成立，

由基本不等式得,由题可知,则,解得,充分性成立，

则是的充分不必要条件，

故选：A

5．B

【分析】由题意可得f4?x=fx

【详解】由题意函数关于直线对称，

故f4?x=fx

即，

即

故需满足且，即，

则，

故选：B

6．C

【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式及体积公式求解即可.

【详解】设圆锥和圆柱的底面半径分别为，高分别为，

因为圆锥的轴截面是等腰直