精品解析：北京市海淀区北京交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题（原卷版）.docx

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交大附中高三12月数学诊断性练习

2024.12

一、选择题（每题4分，共40分）

1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（）

A. B.

C. D.

2.已知，则（）

A. B. C. D.

3.已知函数，，则“”是“的值域为”的（）

A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知a，b为直线，为平面，①，则；②，则；③，则；④，则．以上结论正确的是（）

A.①② B.①④ C.③④ D.②③

5.过双曲线一个焦点F作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A，O为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（）

A. B. C.2 D.

6.已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（）

A. B.

C. D.

7.与双曲线有两个交点的直线方程是（）

A. B.

C. D.

8.已知椭圆右焦点F与抛物线的焦点重合，P为椭圆与抛物线的公共点，且轴，那么椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

9.已知正方形边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（）

A. B. C.4 D.8

10.正四棱柱的底面边长为，，点M是的中点，P是平面内的一个动点，且满足，P到和的距离相等，则点P的轨迹的长度为（）

Aπ B. C. D.2

二、填空题（每题5分，共25分）

11.己知是等差数列，，且成等比数列，则______；的前n项和______．

12.已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，则直线方程为______．

13.已知抛物线：.①则的准线方程为_________；②设的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为_______.

14.已知正三棱锥的六条棱长均为6，设是及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则直线与平面所成角正切值的最小值为______．

15.如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，动点在直线上移动，对于下列五个结论：①存在唯一点，使得；②三棱锥的体积不变；③平面截正方体所得截面形状是梯形或平行四边形；④的面积最小值为；⑤直线与直线所成角正弦值的范围为，则所有正确结论的序号是______．

三、解答题（共85分）

16.在中，，再从条件①?条件②?条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：

（1）的值；

（2）的面积.

条件①：边上的高为；条件②：；条件③：.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

17.如图，在正四棱锥中，，分别为的中点．设平面平面．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求平面与平面夹角的余弦值；

（4）若平面与棱交于点M，求的值．

18.已知函数，其中．

（1）求在处的切线方程；

（2）求函数的单调区间和极值；

（3）若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围．

19.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与x轴相交于点E，过椭圆τ右焦点F的直线与椭圆τ相交于A、B不同两点，点C在直线上，且轴．

（1）求椭圆τ的方程；

（2）求焦点弦长度的最小值；

（3）求证：直线经过线段的中点；

（4）已知点，直线与直线交于点M．当A，D，F不共线时，直接用含t的式子表示直线的斜率．（此问无需说明理由，直接写出答案即可）

20.已知函数．

（1）求函数在区间上的最小值；

（2）证明函数只有一个零点．

21.（1）给出以下数列，其中：①；②；③．其中满足性质“对任意正整数n，都成立”的数列有______．（写出满足条件的所有序号，不必说明理由）；

（2）若数列满足性质“对任意正整数n，都成立”且，利用合情推理猜想出的最小值；（直接写出结果，不必说明理由）______

（3）证明（2）中你的猜想结论．