专题04 相似三角形中的常见的四种模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（江苏专用）（原卷版）.docx

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专题04相似三角形中的常见的四种模型

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模型一、8字模型 1

模型二、A字模型 10

模型三、旋转(手拉手)模型 24

模型四、一线三等角模型 30

46

模型一、8字模型

8字——平行型

条件：CD∥AB,

结论：ΔPAB～ΔPCD(上下相似);

左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;

四边形ABCD为一般梯形.

条件：CD∥AB,PD=PC.

结论：ΔPAB～ΔPCD～ΔPDC(上下相似)

ΔPAD?ΔPBC左右全等；

四边形ABCD为等腰梯形；

8字——不平行型

条件：∠CDP=∠BAP.

结论：ΔAPB～ΔDPC(上下相似);

ΔAPD～ΔBPC(左右相似);

1．（2024·江苏扬州·二模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为米．

2．（2024·江苏泰州·二模）凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的．

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3．（2023·江苏无锡·二模）如图，、、均为等要直角三角形，其中，连接，分别与AC、AD交于点M、N，则．

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4．（2023·江苏苏州·一模）如图，已知中，，点O是边上的动点（不与点B重合），以O为圆心，为半径的与交于D，连接并延长交于点E，连接．

??

(1)当时，判断直线与的位置关系并说明理由；

(2)若，，的半径为r，求r为何值时，的值最大，这个最大值是多少？

5．（2024·江苏常州·模拟预测）图1是凸透镜成像示意图，蜡烛发出的光线平行于直线，经凸透镜折射后，过焦点F，并与过凸透镜中心O的光线交于点D，从而得到像．其中，物距，像距，焦距，四边形是矩形，，．

(1)如图2，当蜡烛在离凸透镜中心一倍焦距处时，即，请用所学的数学知识说明此时“不成像”；

(2)若蜡烛的长为，物距，焦距，求像距v和像的长．

6．（2021江苏·无锡中考真题）如图，四边形为圆内接四边形，平分，与相交于点E．

(1)求证：；

(2)若，求线段的长度．

模型二、A字模型

A字模型

如图一

如图二

如图三

1．（2024·江苏宿迁·三模）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式．如图，在中，点分别是的中点，作于点，沿虚线分割再重新拼接（无重叠无缝隙）成四边形．若，，则四边形的面积为．

2．（2024·江苏宿迁·三模）如图，矩形中，，，与边、对角线均相切，过点B作的切线，切点为P，则切线长的最小值为．

3．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，AB是的直径，CD与AB相交于点．过点的圆O的切线，交CA的延长线于点，．

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(1)求的度数；

(2)若，求的半径．

4．（2023·江苏盐城·一模）《海岛算经》是我国魏晋时期的著名数学家刘徽所撰，该书研究的对象全是有关高与距离的测量，因首题测算海岛的高、远，故而书名由此而来，它是中国最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础．书中第四题为：今有望深谷，偃距岸上，令勾高六尺，从勺端望谷底，入下股九尺一寸，又设重矩于上，其矩间相去三丈（30尺），更从勺端望谷底，入上股八尺五寸，问谷深几何？大致译文如下:现在要测量谷的深度，拿一个高为6尺的“矩尺”（）仰放在岸上，从G处望向谷底（H在上），下股为9.1尺，在的延长线上重新放置“矩尺”（），其中尺，尺，从E处望向谷底（C在上），下股为8.5尺，求谷的深度．（已知??、）

??

5．（2023·江苏扬州·二模）【阅读材料】

教材习题

如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点．??

问题分析

由条件易证，从而得到，即点是的中点

方法提取

构造“平行字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法

??

请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．

【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点．

(1)如图1，若，，求证：点是的中点；

(2)如图2，若，，探究与之间的数量关系；

【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为______，扫过的面积为______．

6．（2023·江苏泰州·三模）(一)感知：如图，是的中位线，，、分别是、CF的中点，则；(用字母表示与间有怎样的相等关系：．

(二)探索：如图，在四边形中，ABCD，其中，，是AD的中点，交于点，则．(用字母，表示)

在AD上，在上，CD，且使四边形四边形，则