培优点03　同构函数问题（2大考点+强化训练）解析版.docx

培优点03同构函数问题（2大考点+强化训练）

同构函数问题，是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维．同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有双变量同构和指对同构，一般都是压轴题，难度较大．

【知识导图】

【考点分析】

考点一：双变量同构问题

规律方法含有地位相等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题．

【例1】已知函数f(x)=ln

(1)若函数f(x)的图像在点1,f1处的切线方程为，求函数f(x)的极小值；

(2)若a=1，对于任意x1,x2∈[1,5]，当x

【解析】(1)解：f(x)=lnx+ax

由函数f(x)在点1,f1处的切线方程为y=?2

得f1=1+2a?3=0

此时f(x)=lnx+

令f(x)=0，解得x=1或

当0x12或x1时,fx0,即fx在0,12和1,+∞上单调递增,当12x1时,fx0,即fx在12,1上单调递减,则当x=1时,函数fx取得极小值,即

设Fx=?2x3+3x2?x,x∈1,5,则Fx=?6x2+6x

【变式1】设函数fx

(1)求函数fx

(2)若fx存在两个极值点x1，x2

【解析】(1)fx的定义域为0，+∞，fx

当Δ=1?8a≤0时，即a≥18时，fx

当Δ=1?8a0时，即0a18时，

解得x1=1?

当fx0时解得，0x1?1?8a4或

当fx0时解得，1?1?8a4

综上，当a≥18时，函数的单调增区间为0，+∞；当0a18时，函数的单调递增区间为0，1?1?8a

(2)由（1）可知，fx存在两个极值点x1，x2

x1，x2为方程

x1+x

fx1?fx2x1?x2

即证lnx1?

即证lnx

设x1x

令t=x1x

设?t=lnt?2(t?1)t+1，?

所以lnt

即f

【变式2】已知函数fx

(1)求曲线y=fx

(2)设gx=fx

(3)证明：对任意的s,t∈

【解析】(1)解：因为fx=exln1+x,所以f0=0,即切点坐标为0,0,

又fx=exln1+x+11+x,

∴

∴?

∴gx0在[0,+∞)上恒成立,

∴gx在[0,+∞)上单调递增.

m

由(2)知gx=f

∴gx

∴m

∴mx在0,+∞上单调递增,又因为x,

考点二：指对同构问题

规律方法指对同构的常用形式

(1)积型：aea≤blnb，一般有三种同构方式：

①同左构造形式：aea≤lnbelnb，构造函数f(x)＝xex；

②同右构造形式：ealnea≤blnb，构造函数f(x)＝xlnx；

③取对构造形式：a＋lna≤lnb＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnb))(b1)，构造函数f(x)＝x＋lnx.

(2)商型：eq\f(ea,a)≤eq\f(b,lnb)，一般有三种同构方式：

①同左构造形式：eq\f(ea,a)≤eq\f(elnb,lnb)，构造函数f(x)＝eq\f(ex,x)；

②同右构造形式：eq\f(ea,lnea)≤eq\f(b,lnb)，构造函数f(x)＝eq\f(x,lnx)；

③取对构造形式：a－lna≤lnb－ln(lnb)(b1)，构造函数f(x)＝x－lnx.

(3)和、差型：ea±ab±lnb，一般有两种同构方式：

①同左构造形式：ea±aelnb±lnb，构造函数f(x)＝ex±x；

②同右构造形式：ea±lneab±lnb，构造函数f(x)＝x±lnx.

考向1：指对同构与恒成立问题

【例2】.若不等式e(m－1)x＋3mxex≥3exlnx＋7xex对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________.

【解析】(1)∵ex－a≥lnx＋a，

∴ex－a＋x－a≥x＋lnx，

∴ex－a＋x－a≥elnx＋lnx，

设f(t)＝et＋t，则f′(t)＝et＋1＞0，

∴f(t)在R上单调递增，

故ex－a＋(x－a)≥elnx＋lnx，

即f(x－a)≥f(lnx)，

即x－a≥lnx，即a≤x－lnx，

设g(x)＝x－lnx，

则g′(x)＝1－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x)，

令g′(x)＞0，x＞1，

∴g(x)在(1，＋∞)上递增，在(0，1)上递减，

故g(x)min＝g(1)＝1，故a≤1，故选C.

(2)e(m－1)x＋3mxex≥3exlnx＋7xex?e(m－2)x＋3m