特殊函数的不定积分.ppt

关于特殊函数的不定积分第1页，共29页，星期日，2025年，2月5日第三节几种特殊函数的不定积分一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分第2页，共29页，星期日，2025年，2月5日基本积分法:换元积分法;分部积分法.初等函数求导初等函数积分例如,下列函数积分都不是初等函数直接积分法;在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域有重要应用的积分,都属于“积不出”的范围.第3页，共29页，星期日，2025年，2月5日有理函数的定义两个多项式的商表示的函数一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式真分式;假分式.第4页，共29页，星期日，2025年，2月5日例多项式的积分容易计算.真分式的积分.只讨论:多项式真分式有理函数相除多项式+真分式分解若干部分分式之和第5页，共29页，星期日，2025年，2月5日对一般有理真分式的积分,代数学中下述定理起着关键性的作用.定理第6页，共29页，星期日，2025年，2月5日部分分式(最简分式).第7页，共29页，星期日，2025年，2月5日用此定理有理函数的积分就易计算了.且由下面的例题可看出:有理函数的积分是初等函数.注系数的确定,一般有三种方法:(1)等式两边同次幂系数相等;(2)赋值;(3)求导与赋值结合使用.第8页，共29页，星期日，2025年，2月5日例求解由多项式除法,有说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分.假分式第9页，共29页，星期日，2025年，2月5日例求解比较系数因式分解第10页，共29页，星期日，2025年，2月5日第11页，共29页，星期日，2025年，2月5日代入特殊值来确定系数取取取例求解二次质因式第12页，共29页，星期日，2025年，2月5日第13页，共29页，星期日，2025年，2月5日注任意有理真分式的不定积分都归纳为下列其中A,B,a,p,q都为常数,并设几种典型部分分式的积分之和n为大于1的正整数.第14页，共29页，星期日，2025年，2月5日类型解决方法作代换去掉根号.二、简单无理函数的积分第15页，共29页，星期日，2025年，2月5日回代例解令原式=第16页，共29页，星期日，2025年，2月5日解令分部积分回代例第17页，共29页，星期日，2025年，2月5日三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数.一般记为如三、三角函数有理式的积分和分部积分法讨论过一些.对于三角函数有理式的积分,曾用换元法是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函数回答是肯定的.?第18页，共29页，星期日，2025年，2月5日由三角学知识可通过变换事实上,由半角变换(或称万能代换）则表示.化为有理函数的积分.第19页，共29页，星期日，2025年，2月5日u的有理函数第20页，共29页，星期日，2025年，2月5日例求解由万能代换第21页，共29页，星期日，2025年，2月5日