2018年数学（北师大版必修4）练习第2章7172向量应用举例.doc

第二章§77.1、7.2

1．已知两条平行直线l1：12x＋5y－3＝0和l2：12x＋5y＋m＝0的距离为1，则m＝()

A．10 B．－16

C．10或－16 D．13

解析：在l1上取点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,5)))，则M到l2的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0＋5×\f(3,5)＋m)),\r(122＋52))＝1，解得m＝10或－16.

答案：C

2．某物体沿与地面成60°的方向做斜抛运动，初速度|v0|＝10m/s，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是

解析：设物体在水平方向上的速度为|v1|，则|v1|＝|v0|·cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5(m/s)，即该物体在水平方向上的速度是5m/s.

答案：5

3.如图，已知AC，BD是梯形ABCD的对角线，E，F分别是BD，AC的中点．求证：EF∥BC．

证明：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a.

∵eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴存在实数λ，使eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))＝λb.

∵E是BD的中点，

∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b－a)．

连接BF，∵F是AC的中点，

∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))

＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))

＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(λb－a)．

∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(λb－a)－eq\f(1,2)(b－a)

＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ－\f(1,2)))b＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ－\f(1,2)))·\f(1,λ)))eq\o(BC,\s\up6(→)).

又E，F，B，C四点不共线，

∴eq\o(EF,\s\up6(→))∥∥eq\o(BC,\s\up6(→))，即EF∥BC．

4.如图，O为△ABC的外心，E为三角形内一点，满足eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，求证：AE⊥BC．

证明：∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，

∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|2－|eq\o(OB,\s\up6(→))|2.

又O是△ABC的外心，∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|.

∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.∴eq