2024_2025学年高中数学第1章算法初步1.3算法案例学案新人教A版必修3 .pdf

1.3算法案例

学习目标核心素养

1.会用辗转相除法与更相减损术求两数的最

1.通过古代传统算法，培育数学运算素

大公约数(重点、易混点)

养

2.会用秦九韶算法求多项式的值(重点)

2.借助算法案例，提升逻辑推理素养

3.会在不同进位制间进行相互转化(难点)

迷煎自主方自主预习。探新知魏装茬感务

e新知初

1.辗转相除法与更相减损术

(1)辗转相除法

①辗转相除法是用于求两个正整数的最大公约数的一种算法,这种算法是由欧几里得在

公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法

②所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数若余数不为零，

则将余数和较小的数构成新的一对数,接着上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小

的数就是原来两个数的最大公约数

(2)更相减损术

更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两数最大公约数的方法其

基本过程是：第一步，随意给定两个正整数，推断它们是否都是偶数若是，用土约简；若

不是，执行其次步其次步，以较大的数速去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，

并以大数减小数接着这个操作，直到所得的数监为止，则这个数或这个数与约简的数的

乘积就是所求的最大公约数

2.秦九韶算法

把一个n次多项式f(x)=编/+—ix”—1aix+a0改写成如下形式：/(x)=(•••({anx

+wi)x+—2)xai)x+a).求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值,

即Vl=anx+an-l,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即72=Vix+an~2,沔=〃2入+务-3,…，

Vn-ix+ao,这种求刀次多项式/(x)的值的方法叫秦九韶算法

3.进位制

(1)进位制是人们为了计数和运算便利而约定的记数系统“满■进一”就是八进制,k

进制的基数是k.

(2)将进制数化为十进制数的方法是：先把A进制数写成各位上的数字与邦的蓦的乘积

之和的形式,再依据十进制数的运算规则计算出结果

(3)将十进制数化为#进制数方法是：除♦取余法即用■连续去除十进制数所得的商,

直到商为零为止，然后把各步得到的余数倒排写出就是相应的#进制数

e初试

1.在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16-12=4,12-4=8,8—4=4.由此

可以看出12和16的最大公约数是（）

A.4B.12

C.16D.8

A[依据更相减损术的方法推断]

2.下列有可能是4进制数的是（)

A.123B.642

C.3103D.4312

C[4进制中逢4进1,

每位上的数字肯定小于4.]

3.已知多项式/（x）=4/+3/+2/—/—X—用秦九韶算法求/（—2）等于（）

197197

A.B.

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