微重点04　平面向量数量积的最值与范围问题（解析版）.docx

微重点04平面向量数量积的最值与范围问题

平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法．

知识导图

考点分类讲解

考点一：求参数的最值(范围)

规律方法利用共线向量定理及推论

(1)a∥b?a＝λb(b≠0)．

(2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线?λ＋μ＝1.

【例1】(2023·漳州模拟)已知△ABC，点D满足eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up6(→))，点E为线段CD上异于C，D的动点，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ2＋μ2的取值范围是________．

【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(17,9)))

【解析】由题意设eq\o(CE,\s\up6(→))＝meq\o(CD,\s\up6(→))，m∈(0,1)，

因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up6(→))，

所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))，

所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(m,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(m,3)))eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(m,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，

又eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，

则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(m,3)，,μ＝1＋\f(m,3)，))

所以λ2＋μ2＝1＋eq\f(2,3)m＋eq\f(2,9)m2

＝eq\f(2,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(3,2)))2＋eq\f(1,2)，

又因为m∈(0,1)，由二次函数的性质得

y＝eq\f(2,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(3,2)))2＋eq\f(1,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(17,9)))，

所以λ2＋μ2的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(17,9))).

【变式1】设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为()

A．[－1,3] B．[－1,5]

C．[－7,3] D．[5,7]

【答案】A

【解析】∵非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，

∴|a|＝2，|b|＝1，

a·b＝2×1×cosθ＝2cosθ，

∵不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，

∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2，

∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2，

整理可得(13－λ2)＋(8－4λ)cosθ≥0恒成立，

∵cosθ∈[－1,1]，

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(13－λ2＋8－4λ≥0，,13－λ2－8＋4λ≥0，))解得－1≤λ≤3.

【变式2】（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点，若实数满足，则的最小值为．

【答案】

【分析】根据题意，由三点共线可得，再由基本不等式，即可得到结果.

【详解】??

因为，则，

由三点共线可得，

则，

当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.

故答案为：.

【变式2】．（2023高三·全国