第13讲 空间向量与距离、探究性问题（2大考点+强化训练）解析版.docx

第13讲空间向量与距离、探究性问题（2大考点+强化训练）

[考情分析]1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的距离，属于中等难度.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上．

知识导图

考点分类讲解

考点一：空间距离

(1)点到直线的距离

直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离d＝eq\r(a2－?a·u?2).

(2)点到平面的距离

平面α的法向量为n，A是平面α内任一点，P为平面α外一点，则点P到平面α的距离为d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).

考向1点到直线的距离

【例1】（2024·全国·模拟预测）已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意先求出直线的方向向量，然后依次求得，则到直线的距离为，求解即可.

【详解】由题意可知直线的方向向量为：，

又，则，

，

点到直线的距离为：.

故选：C.

【变式1】（23-24高三上·北京昌平·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（????）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求其最小值作答.

【详解】由题意以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：

因为正方体棱长为1，，

所以，

不妨设，

所以，

而，

所以点到直线的投影数量的绝对值为，

所以点到直线距离，

等号成立当且仅当，即点到直线距离的最小值为.

故选：C.

【变式2】（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知点，若点和点在直线上，则点到直线的距离为．

【答案】1

【分析】根据题意求得，结合到直线的距离，即可求解.

【详解】由题意知，点，，，可得，，

则，，，

所以，

可得，

所以点到直线的距离为．

故答案为：1.

【变式3】（23-24高三上·山东青岛·期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为塹堵，在塹堵中，若，若为线段中点，则点到直线的距离为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立合适的空间直角坐标系，先求出的夹角，在直角三角形中，得出点到直线的距离.

【详解】解：根据塹堵的定义，建立以点为原点的空间直角坐标系，

则，，，，，

故，，

所以，

所以，

设点到直线的距离为，

所以，解得.

故选：B.

考向2点到平面的距离

规律方法(1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法．

(2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行．求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距离．

【例2】2.(2023·湖北省襄阳市第四中学模拟)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为4，∠A1AB＝60°，点A1在下底面ABC上的投影为AB的中点O.

(1)在棱BB1(含端点)上是否存在一点D使A1D⊥AC1？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；

(2)求点A1到平面BCC1B1的距离．

【解析】解(1)存在．

∵点A1在下底面ABC上的投影为AB的中点O，故A1O⊥平面ABC，

连接OC，由题意知△ABC为正三角形，故OC⊥AB，

以O为坐标原点，OA，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，2\r(3)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2\r(3)，0))，B(－2,0,0)，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，0，2\r(3)))，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，2\r(3)，2\r(3)))，

设eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BB1,\s\up6(—→))，eq\o(BB1,\s\up6(—→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，0，2\r(3)))，

可得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2λ－2，0，2\r(3)λ))，

∴eq\o(A1D,\s\up6(—→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2λ－2，0，2\r(3)λ－2\r(3)))，

eq\o(AC1,\s\up6(—→))＝eq\b\