人教版八年级下册数学教学设计 第19章 一次函数 19.1 函数 19.1.2 函数的图象 19.1.2.2 函数的表示方法.docVIP

第2课时函数的表示方法

课时目标

1.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系,建立函数模型并解决问题,增强符号意识和应用意识.

2.结合对函数关系的分析,对变量的变化情况进行初步讨论,求解验证,发展推理能力.

学习重点

建立函数模型解决问题.

学习难点

分析变量关系,建立模型.

课时活动设计

一起探究

1.已知摄氏温度值和华氏温度值有如表所示的对应关系:

摄氏温度x/℃

0

10

20

30

40

50

…

华氏温度y/℉

32

50

68

86

104

122

…

(1)当摄氏温度为30℃时,华氏温度为多少?

(2)当摄氏温度为36℃时,由列表能直接看出华氏温度吗?试写出这两种温度计量之间关系的函数解析式.

(3)画出该函数的图象.

(4)当摄氏温度为36℃时,华氏温度为多少?当华氏温度为140℉时,摄氏温度为多少?

(5)华氏温度值是否可能与摄氏温度值相等?

解:(1)86℉.

(2)不能,y=1.8x+32.

(3)画出该函数的图象如图所示.

(4)96.8℉;60℃.

(5)根据题意,得1.8x+32=x,解得x=-40,∴华氏温度值可能与摄氏温度值相等,当摄氏温度为-40℃时,华氏温度为-40℉.

2.一支20cm长的蜡烛,点燃后,每小时燃烧5cm.

(1)如图,哪幅图象能大致刻画出这支蜡烛点燃后剩下的长度h(cm)与点燃时间t(h)之间的函数关系?请说明理由.

(2)求蜡烛燃烧2.8h剩下的长度.

解:(1)第三幅图的图象能大致刻画出这支蜡烛点燃后剩下的长度h(cm)与点燃时间t(h)之间的函数关系.理由如下:

根据题意,得h与t之间的函数关系为h=20-5t,是一次函数,

∵k=-50,

∴h随t的增大而减小.

∴第三幅图的图象能大致刻画出这支蜡烛点燃后剩下的长度h(cm)与点燃时间t(h)之间的函数关系.

(2)剩下的长度为y=20-5×2.8=6(cm).

设计意图:通过观察表格,获取信息,学生在独立思考后,自己完成问题的解答.通过学生展示的多样性再次感受列表法、解析式法、图象法三种函数表示方法的优点,由列表和文字叙述抽象出函数解析式,再画出图象并分析图象,体会三种方法的相辅相成,进一步感受函数建模的作用,加强对符号意识的理解.

大家谈谈

一个水库的水位在最近5h内持续上涨.下表记录了这5h内6个时间点的水位高度,其中t表示时间,y表示水位高度.

t/h

0

1

2

3

4

5

y/m

3

3.3

3.6

3.9

4.2

4.5

(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,这些点是否在一条直线上?由此你能发现水位变化有什么规律吗?

(2)水位高度y是否为时间t的函数?如果是,试写出一个符合表中数据的函数解析式,并画出这个函数的图象.这个函数能表示水位的变化规律吗?

(3)据估计这种上涨规律还会持续2h,预测再过2h水位高度将为多少米.

解:(1)如图1,描出表中数据对应的点,可以看出,这6个点在一条直线上,再结合表中数据,可以发现每小时水位上升0.3m.由此猜想,如果画出这5h内其他时刻(如t=2.5h等)及其水位高度所对应的点,它们可能也在这条直线上,即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的.

(2)由于水位在最近5h内持续上涨,对于时间t的每一个确定的值,水位高度y都有唯一的值与其对应,所以y是t的函数.开始时水位高度为3m,以后每小时水位上升0.3m,所以函数y=0.3t+3(0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数,它表示经过th水位上升0.3tm,即水位y为(0.3t+3)m.其图象是图2中点A(0,3)和点B(5,4.5)之间的线段AB.

如果在这5h内,水位一直匀速上升,即升速为0.3m/h,那么函数y=0.3t+3(0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律.即使在这5h内,水位的升速有些变化,而由于每小时水位上升0.3m是确定的,因此这个函数也可以近似地表示水位的变化规律.

(3)如果水位的变化规律不变,则可利用上述函数预测,再过2h,即t=5+2=7(h)时,水位高度y=0.3×7+3=5.1(m).

把图1中的函数图象(线段AB)向右延伸到t=7所对应的位置,得图2,从它也能看出这时的水位高度约为5.1m.

设计意图:通过动手尝试由表格到解析式以及图象的转换,感受建立函数模型、解决问题的价值和作用.学生在自主探究与合作交流中体验成功的喜悦,增强数学探究的积极性.

做一做

1.一个等腰三角形的周长为12cm,设其底边长为ycm,腰长为xcm.

(1)写出y与x的函数解析式,并指出自变量x的取值范围.

(2)画出这个函数的图象.

解:(1)∵等腰三角形的周长为12cm,∴x+x+y=1