多元函数的极限与连续.ppt

单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版标题样式一、n维欧氏空间二、多元函数的极限与连续性1多元函数的极限与连续累次极限先暂时把y看成常量,记为设二元函数f(x,y)在点则称A为f(x,y)记为类似的,定义f(x,y)仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.?二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例2知它在(0,0)点二重极限不存在.解练习练习解解练习多元函数的连续性定义.设n元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上否则称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数连续.连续,连续的充要条件是在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.在圆周故(0,0)为其间断点.结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.010203040506例如,函数证1要证2试证f(x,y)在原点连续.所以f(x,y)在原点连续.3例1设例2设讨论f(x,y)的连续性.解例2设讨论f(x,y)的连续性.解01例3证明在点(0,0)处沿此点的每条射线连续,0203定理若f(x,y)和g(x,y)在连续,则函数01定理03闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:05若函数02则复合函数04定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则*(4)f(P)必在D上一致连续.在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)例4.求解:例5.求函数解:原式的连续域.AB高阶偏导数(下节课)偏导数的定义及其计算法2.偏导数在点存在,的偏导数，记为的某邻域内有定义,则称此极限为函数若极限设函数注意:定义若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x01则该偏导数称为偏导函数,02也简称为03偏导数,04记为05或y偏导数存在,06同样可定义对y的偏导数STEP4STEP3STEP2STEP1例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请写出)二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的解法2:01解法1:在点(1,2)处的偏导数.02例1.求01证:02例3.求03的偏导数.04解:05求证例2.设单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版标题样式