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湖北省武汉市常青联合体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算的值为（????）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（???）
A． B． C． D．
3．要得到函数的图象，只需将的图象（????）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
4．设，，，则（????）
A． B． C． D．
5．函数的零点，，则（????）
A． B． C． D．
6．已知为锐角，且，则（????）
A． B． C． D．
7．“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为，圆心为，墙壁截面为矩形，且劣弧的长等于半径长的倍，则圆材埋在墙壁内部的截面面积是（????）
A． B． C． D．
8．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知，则下列等式正确的是（??）
A． B．
C． D．
10．下列不等式成立的是（????）
A． B．
C． D．
11．关于函数的下述四个结论，正确的有（????）
A．若，则
B．的图象关于点对称
C．函数在上单调递增
D．）的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于y轴对称
三、填空题
12．已知函数，则的值为．
13．函数在的值域．
14．已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是．
四、解答题
15．（1）已知，求.
（2）已知，，求.
16．函数的部分图像如图所示.
(1)求及图中的值，并求函数的最小正周期；
(2)若在区间上只有一个最小值点，求实数的取值范围.
17．已知函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断并用定义法证明函数的单调性：
(3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围.
18．已知定义在上的函数满足且，.
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围.
19．列奥纳多达芬奇（LeonardodaVinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为．
(1)证明：；
(2)求不等式：的解集；
(3)函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围．
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《湖北省武汉市常青联合体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
D
C
D
D
C
ABD
BD
题号
11
答案
ABD
1．C
【分析】利用三角函数诱导公式转化为特殊角三角函数值即可解决.
【详解】
故选：C
2．D
【分析】由对数型复合函数定义域和分母不为零求解即可；
【详解】由题意得，解得且，
所以函数的定义域为，
故选：D.
3．D
【分析】利用三角函数的图象变换关系求解.
【详解】,
所以要得到函数的图象，
只需将的图象向右平移个单位，
故选:D.
4．D
【分析】作出函数、、的图象，结合图象可得出、、的大小关系.
【详解】作出函数、、的图象如下图所示：
因为，，，由图象可得.
故选：D.
5．C
【解析】根据题意，分别计算，判断其正负，由零点存在定理判断函数零点所在区间为，可得.
【详解】已知，；，所以，可知函数零点所在区间为，故.
故选：C.
6．D
【分析】注意到，利用同角三角函数的关系求角的正弦，再利用诱导公式求角的正弦、余弦，从而得到的正切.
【详解】因为为锐角，所以且，所以得，
由诱导公式得，.
所以.
故选:D
7．D
【分析】利用扇形面积公式和三角形面积公式即可.
【详解】由题意得劣弧的长为2，半径，
设，则，即，
则扇形的面积为，
过点作，则，则，，
，则，
所以圆材埋在墙壁内部的截面面积等于，
故选：D.
8．C
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