实变函数论第三版课件.ppt

证明：假设是一个无穷集，任取，因无穷，故亦无穷，因此又可以从中任取一个元素，显然，假如已从中取出个元素，则由是无穷集知仍是无穷集，从而可从中取出一个元素，由归纳法知可从中取出互不相同得元素第3讲势的定义-可数集合与连续势排成一无穷序列：，显然是的可数子列。证毕。第3讲势的定义-可数集合与连续势0103020401040203定理3可数集合的无穷子集仍是可数的。证明：假设是可数集，是的无穷子集，由定理2，含可数子集，于是，但，故，从而也是可数的。证毕。第3讲势的定义-可数集合与连续势第3讲势的定义

-可数集合与连续势04证明：由于有限或可数，故有限或可数，所以可以写成，或，又因可数，从而可以写成，将按如下方法排列：当时，将排成03定理4设是可数集，是有限集或可数01集，则可数。02第3讲势的定义证毕。无论哪种情形，显然都是可数的。-可数集合与连续势当将排成定理5有限个或可数个有限集或可数集的证明：不妨假设是一列有限或可数集（有限个集合情形证明相仿）。将中元素排列成，（如果是有限集，则排列成第3讲势的定义并仍是有限集或可数集。）。于是表示中的-可数集合与连续势123456第个元素，记，则对任意自然数，满足的数组必为有限个，首先按从小到大的顺序进行编号，即将编为对每个，将重新写成第3讲势的定义

-可数集合与连续势aa+1/kf(x)例有理数全体（或实数全体）相对于四则运算是封闭的，人们通常称它们为有理数域（或实数域），整数集则不然。01前面已经定义了集合的“并”、“交”、“差”运算，那么什么样的集簇相对于集合的运算是封闭的呢？02域与б-域第1讲集合及其运算第1讲集合及其运算这就是下面要引进的定义。定义2假设S是一个给定的集合，F是以S的一些子集为元素的一个集合，称为S的子集簇，如果它满足（1）；（2）当时，；（3）当。则说F是S的一些子集构成的一个域(或代数)。如果还有是F中一列元素时,有则称F为S的一些子集构成的一个域(或代数)。不难发现，如果（1）、（2）、（3）成立，则必有，且对任意。01如果(3‘)成立，则对任意02有。03域的最简单例子是S的一切子集构成的簇，这是S的子集簇中最大者；另一个例子是由空集和S本身构成的簇，这是S的子集所构成的域中最小者。04第1讲集合及其运算如何构造？存不存在满足上述条件的最小的б-域？这样的б-域有多少？如何构造一个б-域包含F?CBAD问题5：对于一个给定集合的子集簇F，它关于集合的运算可能不是封闭的。第1讲集合及其运算第1讲集合及其运算我们所要的域G(F)必须满足这样两个条件（i）（ii）任何包含F的域都包含G(F)，换句话说，G(F)是包含F的域中最小者。满足（i）的域不难找，S的一切子集构成的域便是一个，问题在于如何找最小的一个，为此，不妨把包含F的所有域相交，记这个集合为