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基于数学思想培养的高中数学单元教学案例探究

摘要：数学教学不仅要引导学生学习具体的数学知识，更要培养学生的创造性思维。教师可以“数形结合”“类比”等数学思想为主线，通过对“函数的奇偶性”这一教学内容进行内容重构，设计基于教材、课程标准和基本学情的单元教学案例。案例中所蕴含的数学思想与方法、所体现的数学核心素养、所构建的数学知识体系，应有利于进一步引导学生更加深入地理解函数的概念，掌握函数的性质。

关键词：高中数学；数学思想；单元教学；函数的奇偶性

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）指出“高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。”为了全面培养和发展学生的数学核心素养，落实立德树人的根本任务，教师应深入探究适合实际学情的教学模式，通过积极构建符合《课标》、教材要求的知识体系，编制合理的教学单元，设计符合学生认知水平发展的教学流程，来实现从传统的“学科本位”到“学生本位”的跨越。《课标》对于课程目标明确提出要落实“四基”，提高“四能”，那么在单元教学中如何具体实施呢？本文以“函数的奇偶性”为例，探讨以数学基本思想作为主线的单元教学设计。

“函数的奇偶性”是《课标》中必修课程的“主题二函数”的重要内容，本研究以此内容作为教学单元，将类比、数形结合、从特殊到一般等数学思想作为主线进行单元整体设计，主要突出以下三个方面：一是调整教学顺序，突出类比等思想。本案例将第1课时设计为“由偶函数的定义，探究得到偶函数的性质及判定，再逐步深入到函数的轴对称”等内容，类比第1课时，在第2课时中研究奇函数的定义，再逐步深入到函数的中心对称。这样，将函数的奇偶性分开教学，提前渗透了函数的轴对称和中心对称等特殊的性质，打破了教材中原有的知识体系，重新编制了符合学情的教学流程。二是强调数形结合在研究函数性质时的重要作用。本案例通过让学生直观感受偶函数和奇函数的图象及性质，引导学生根据具体函数的图象总结并且归纳出函数的奇偶性的定义，将数形结合、从特殊到一般的数学思想贯穿整个教学过程，培养学生直观想象、数学抽象等数学核心素养。与此同时，在函数的奇偶性的教学中深化对函数单调性的理解，引导学生思考对称性（轴对称、中心对称）与函数的单调性之间的关系，通过函数图象的变化规律，总结函数的性质。这不仅仅体现了知识之间的结构性，更重要的是体现了不同内容之间数学思想的一致性。

一、单元教学内容及教学目标分析

函数是描述客观世界中变量关系和规律的最基本的数学语言和工具，其不仅刻画了变量之间的依赖关系，也可以被理解为实数集合之间的对应关系。函数的性质表现为因变量随自变量的变化而变化的规律性和变化中的不变性。具体来说，函数的单调性研究的是随自变量的增大，因变量是增大还是减小的规律性，这是事物发展趋势的一种数学表达；函数的奇偶性研究的是当自变量互为相反数时，因变量的变化规律（相等还是互为相反数），这是事物对称性的一种数学表达。奇偶性从“形”的角度，揭示了函数图象整体的对称性；从“数”的角度，刻画了自变量与函数值之间一种特殊的数量关系。函数的奇偶性对于简化函数图象和性质的研究过程具有事半功倍的作用。在解决函数问题的过程中，借助具体的函数图象和函数性质的研究，渗透用符号语言解释直观图形、用图形语言解释符号语言的含义，蕴含着数形结合的思想。在解决函数性质的具体问题中，通过逻辑推理、数学运算判断代数式的大小关系或相等关系，蕴含着转化与化归等思想。“函数的奇偶性”单元教学主要是通过探究函数的局部性质，利用从特殊到一般、数形结合的数学思想，延伸到函数的整体性质，其设计是借助代数运算、图象分析，对函数性质做出精确表达，完成函数基本性质符号化定义的抽象过程，为学生后续学习新的数学概念与性质奠定思想方法和能力的基础。

基于以上对单元教学内容的分析，笔者设计单元（主题）的教学目标为：（1）结合具体的函数，了解奇偶性的概念和几何意义及相应对称性。（2）能够运用代数运算、图象分析的方法来研究函数的奇偶性、对称性，建立不同函数图象与代数特征之间的关联，发现不同函数图象之间共有的性质。（3）能够理解“符号化表达与几何图象相对应”的本质，体会“从特殊到一般”“数形结合”“类比”的数学思想，会用联系的观点学习数学，将新知识纳入已有的知识体系中。（4）能够在运用代数运算和图象分析的过程中观察到函数奇偶性的代数特征及相关性质，并在此基础上类比至函数奇偶性相关性质的研究；在研究函数奇偶性相关性质的过程中能够运用特殊到一般、数形结合的数学思想方法猜想函数奇偶性的相关性质，并运用严谨的数学语言表达关于函数性质的逻辑推理过程和结论，发展直观想象、数学抽象和逻辑推理素养，提升数学表达能力。

二、单元—课时教学内容设计

单元—课时教学内容如