培优点05极化恒等式、奔驰定理与等和线定理（3大考点+强化训练）原卷版.docx

培优点05极化恒等式、奔驰定理与等和线定理（3大考点+强化训练）

平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、奔驰定理、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．

知识导图

考点分类讲解

考点一：向量极化恒等式

极化恒等式：a·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))2.

变式：(1)a·b＝eq\f(?a＋b?2,4)－eq\f(?a－b?2,4)，

a·b＝eq\f(|a＋b|2,4)－eq\f(|a－b|2,4).

(2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))2＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\o(MB,\s\up6(→))2.

规律方法利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．

【例1】(2023·郑州模拟)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范围是________．

【变式】．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

考点二:平面向量“奔驰定理”

定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.

易错提醒利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比．

【例2】（2022·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（????）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【变式1】(2023·重庆模拟)△ABC内一点O满足关系式S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则O为△ABC的()

A．外心 B．内心

C．重心 D．垂心

【变式2】(2023·安阳模拟)如图，已知O是△ABC的垂心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于()

A．1∶2∶3 B．1∶2∶4

C．2∶3∶4 D．2∶3∶6

考点三:等和(高)线定理

等和(高)线

平面内一组基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(——→))，eq\o(OP′,\s\up6(——→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线．

(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；

(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；

(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；

(4)当等和线过O点时，k＝0；

(5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；

(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．

规律方法要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线．

【例3】．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（????）

A． B．2 C． D．1

【变式3】已知是内一点，且，点在内