专题04 遇到角平分线如何添加辅助线-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（湖北专用）（解析版）.docx

专题04遇到角平分线如何添加辅助线模型

目录

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模型1.运用角平分线定理模型 1

模型2.构造等腰三角形模型 7

模型3.构造轴对称图形模型 11

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模型1.运用角平分线定理模型

条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，已知PA⊥OM,垂足为A.

辅助线作法:过点P作PB⊥ON于点B.

结论:PA=PB.

例1．如图，在中，，是的角平分线，若点到的距离为，，则的长为．

【答案】

【知识点】角平分线的性质定理

【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键．

过点作于，则，再根据角平分线的性质定理得到，则．

【详解】解：如图所示，过点作于，

点到的距离为，

，

是的角平分线，，，

，

，

，

故答案为：．

例2．如图，平分，，，于点，，则的长为．

【答案】2

【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形

【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，过作于点，则，由角平分线的性质得，，又得，最后由角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

【详解】解：如图，过作于点，则，

∴平分，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

故答案为：2．

例3．如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14．

(1)求证：是的平分线．

(2)若，求线段的长．

【答案】(1)见解析

(2)

【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、用勾股定理解三角形

【分析】（1）延长，过点C作于点F，根据的面积为14，，求出，得出，根据角平分线的判定，得出结论即可；

（2）在上取点G，使，根据勾股定理求出，证明，得出．

【详解】（1）证明：延长，过点C作于点F，如图所示：

∵的面积为14，，

∴，

∴，

∵，，

∴是的平分线．

（2）解：在上取点G，使，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵是的平分线，

∴，

∵，，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．

例4．如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、．

??

(1)如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由；

(2)如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)，见解析

(2)，见解析

【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

（1）根据角平分线的性质可得，再根据，，可得，进一步可得，可证，根据全等三角形的性质即可证明；

（2）过点P作于点E，过点P作于点F，根据角平分线的性质可得，，可证，可得，再根据含角的直角三角形的性质可得，进一步可证．

【详解】（1）解：，理由如下：

平分，，，

，，

，，

，

，

，

在和中，

，

，

．

（2）解：理由如下：

过点作于点，过点作于点，如图所示．

??平分，

，，

，，

，

，

，

在和中，

，

．

，平分，

，

，

，，

，

．

模型2.构造等腰三角形模型

1.条件:如图1,点P是∠AOB平分线OC上一点.

辅助线作法:过点P作PQ∥OB,交OA于点Q.结论：△POQ是等腰三角形.

2.条件:如图2,OC是∠AOB的平分线,点D是OA上一点.

辅助线作法：过点D作DE∥OC，交BO的延长线于点E.

结论：△DOE是等腰三角形.

3.条件：如图3，P是∠MON平分线上一点，已知AP⊥OP.

辅助线作法：延长AP，交ON于点B.

结论:△AOB是等腰三角形,OP垂直平分AB

例1．如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则°．

【答案】30

【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．延长交于点，证明，推出，利用三角形的外角性质计算即可求解．

【详解】解：延长交于点，

∵是的角平分线，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

故答案为：30．

例2．如图，是的角平分线，，交于点．

(1)求证：是等腰三角形．

(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)，见解析

【知识点】角平分线的有关计算、等