专题04 相似三角形中的常见的四种模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（江苏专用）（解析版）.docx

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专题04相似三角形中的常见的四种模型

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模型一、8字模型 1

模型二、A字模型 10

模型三、旋转(手拉手)模型 24

模型四、一线三等角模型 30

46

模型一、8字模型

8字——平行型

条件：CD∥AB,

结论：ΔPAB～ΔPCD(上下相似);

左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;

四边形ABCD为一般梯形.

条件：CD∥AB,PD=PC.

结论：ΔPAB～ΔPCD～ΔPDC(上下相似)

ΔPAD?ΔPBC左右全等；

四边形ABCD为等腰梯形；

8字——不平行型

条件：∠CDP=∠BAP.

结论：ΔAPB～ΔDPC(上下相似);

ΔAPD～ΔBPC(左右相似);

1．（2024·江苏扬州·二模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为米．

【答案】2.6

【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．

【详解】解：由题意得：，，

，

，

，

，

，

解得：，

为2.6米，

故答案为：2.6．

2．（2024·江苏泰州·二模）凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的．

??

【答案】

【分析】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并用相似三角形的性质进行解答是解题的关链；先证出四边形为矩形，得到，再

根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几；

【详解】解：由题意知，，

，

，

四边形是矩形，

，

，

，

，

，

物体被缩小到原来的，

故答案为：；

3．（2023·江苏无锡·二模）如图，、、均为等要直角三角形，其中，连接，分别与AC、AD交于点M、N，则．

??

【答案】

【分析】如图所示，延长交于F，由等腰直角三角形的性质得到，，证明四边形是矩形，得到，，，，证明得到，则；进一步证明是等腰直角三角形，得到，证明，推出，设，则，，即可得到．

【详解】解：如图所示，延长交于F，

∵、、均为等要直角三角形，

∴，，

∴，

∴四边形是矩形，

∴，，，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

设，则，

∴，

∴，

故答案为：．

??

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．

4．（2023·江苏苏州·一模）如图，已知中，，点O是边上的动点（不与点B重合），以O为圆心，为半径的与交于D，连接并延长交于点E，连接．

??

(1)当时，判断直线与的位置关系并说明理由；

(2)若，，的半径为r，求r为何值时，的值最大，这个最大值是多少？

【答案】(1)与相切，理由见解析

(2)，的值最大，这个最大值是9

【分析】（1）由圆周角定理可得，再由，，可得，再利用，可得，即可得出结论；

（2）利用勾股定理求得，证明，可得，即，设，，可得即可求出结果．

【详解】（1）解：连接，，

??

∵是直径，

∴，

∵，

∴，

当时，，

又∵，

∴，

∵，

∴，

又∵是半径，

∴与相切．

（2）解：∵，

∴，

∵是的直径，

∴，

∴，??

又∵，

∴，

∴，即，

设，，

∴，

∴时，，的值最大，最大值为9．

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、二次函数最值、勾股定理、切线的判定、等腰三角形的定义及圆周角定理，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键．

5．（2024·江苏常州·模拟预测）图1是凸透镜成像示意图，蜡烛发出的光线平行于直线，经凸透镜折射后，过焦点F，并与过凸透镜中心O的光线交于点D，从而得到像．其中，物距，像距，焦距，四边形是矩形，，．

(1)如图2，当蜡烛在离凸透镜中心一倍焦距处时，即，请用所学的数学知识说明此时“不成像”；

(2)若蜡烛的长为，物距，焦距，求像距v和像的长．

【答案】(1)见解析

(2)像的长为厘米，像距v为厘米

【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质等知识．

（1）先证明得出，即，得出与无交点即可求解；

（2）根据可得和，根据相似三角形的性质可列二元一次方程组，解方程组即可求解．

【详解】（1）解：∵四边形是矩形

∴，

在和中

∴

∴

∴

则与无交点

即此时“不成像”；

（2）解：由和可知：

∴

答：像的长为，像距v为．

6．（2021江苏·无锡中考真题）如图，四边形为圆内接四边形，平分，与相交于点E．

(1)求证：；

(2)若，求线段的长度