《函数的奇偶性》教案设计(合集2024).pptxVIP

《函数的奇偶性》教案设计(合集2024)

目录

课程介绍与教学目标

函数奇偶性基本概念

判别方法与技巧

典型例题分析与解答

学生自主练习与互动环节

知识拓展与延伸思考

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课程介绍与教学目标

函数的奇偶性是数学中的重要概念，对于理解函数的对称性和周期性具有重要意义。

通过对函数奇偶性的学习，可以加深对函数性质的理解，为后续学习如三角函数、幂函数等打下基础。

函数的奇偶性在实际问题中也有广泛应用，如物理中的对称性问题、经济学中的成本收益分析等。

掌握函数奇偶性的定义和判断方法，能够判断常见函数的奇偶性。

知识与技能

通过观察、比较、归纳等方法，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

过程与方法

培养学生对数学的兴趣和好奇心，感受数学之美，提高数学素养。

情感态度与价值观

教学内容

本节课主要讲解函数奇偶性的定义、性质和应用，包括偶函数、奇函数的定义和性质，以及如何利用函数的奇偶性简化计算和解决实际问题。

教材分析

本节课选用的是高中数学教材，该教材对函数奇偶性的概念、性质和应用有详细的阐述，适合学生的学习需求。

教学重点与难点

重点是掌握函数奇偶性的定义和判断方法；难点是理解函数奇偶性的本质和应用。

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函数奇偶性基本概念

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定义：对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数。

性质

1.偶函数的图像关于y轴对称。

2.偶函数与偶函数相加或相减仍为偶函数。

3.偶函数与奇函数相乘得到奇函数。

4.偶函数的导数（如果存在）是奇函数。

奇函数图像特征

关于原点对称，可能穿过原点。

偶函数图像特征

关于y轴对称，图像可能不穿过原点。

判断方法

通过观察函数的图像或利用函数的性质来判断其是否为奇函数或偶函数。例如，正弦函数$y=sinx$是奇函数，因为其图像关于原点对称；余弦函数$y=cosx$是偶函数，因为其图像关于y轴对称。

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判别方法与技巧

根据奇函数和偶函数的定义，通过计算$f(-x)$并与$f(x)$比较，判断函数是否为奇函数或偶函数。

定义法

公式法

性质法

利用已知的奇函数和偶函数公式，通过代入和比较判断函数的奇偶性。

根据奇函数和偶函数的性质，如奇函数的原点对称性和偶函数的y轴对称性等，判断函数的奇偶性。

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通过观察函数图像的对称性，判断函数是否为奇函数或偶函数。

观察图像

对于不易直接观察的图像，可以通过绘制函数图像来判断其奇偶性。

绘制图像

利用图像变换（如平移、伸缩、对称等）来判断函数的奇偶性。

图像变换

分段函数

复合函数

抽象函数

含有参数的函数

对于分段函数，需要分别判断各段函数的奇偶性，并注意分段点处的函数值。

对于抽象函数，可以通过赋值法或特殊值法来判断其奇偶性。

对于复合函数，可以通过分析内外函数的奇偶性来判断整个函数的奇偶性。

对于含有参数的函数，需要对参数进行分类讨论，分别判断不同参数取值下函数的奇偶性。

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典型例题分析与解答

判断函数$f(x)=x^3$的奇偶性。

例题

根据奇偶性的定义，若$f(-x)=-f(x)$，则函数为奇函数。将$x$替换为$-x$，得到$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$，因此$f(x)=x^3$是奇函数。

分析

$f(x)=x^3$是奇函数。

解答

例题

判断函数$f(x)=sin(x^2)$的奇偶性。

分析

首先观察内层函数$u=x^2$，这是一个偶函数，因为$u(-x)=(-x)^2=x^2=u(x)$。然后观察外层函数$y=sinu$，这是一个奇函数，因为$sin(-u)=-sinu$。根据复合函数的奇偶性法则，“内偶则偶，内奇同外”，所以$f(x)=sin(x^2)$是偶函数。

解答

$f(x)=sin(x^2)$是偶函数。

要点三

例题

已知函数$f(x)$满足$f(1-x)=f(1+x)$，且当$xgeq1$时，$f(x)=x^2-2x+3$，判断函数$f(x)$的奇偶性。

要点一

要点二

分析

由已知条件$f(1-x)=f(1+x)$，可以推导出$f(-x)=f[1-(1+x)]=f[1+(1+x)]=f(2+x)$。又因为当$xgeq1$时，$f(x)=x^2-2x+3$，所以$f(2+x)=(2+x)^2-2(2+x)+3=x^2+2x+3$。因此，$f(-x)=x^2+2x+3$。比较$f(-x)$和$f(x)$，可以看出它们并不相等，也不互为相反数，所以函数$f(x)$既不是奇函数也不是偶函数。

解答

函数$f(x)$既不是奇函数也不是偶