高中数学人教A版选择性必修第一册：点到直线的距离公式教学设计.docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高二

学期

秋季

课题

点到直线的距离公式

教学目标

1.通过点到直线的距离公式的推导，渗透化归思想、整体思想、数形结合及函数思想；

2.通过点到直线距离公式推导的几种证法，使学生能理解算法选择的优劣，探究优化求解的思路，提升数学运算素养.

教学重难点

教学重点：点到直线距离公式推导．

教学难点：对点到直线距离公式推导过程的优化.

教学过程

一、公式探究：

1、（开门见山）昨天我们学会了两点间距离公式，在此基础上，我们今天的主题是来研究点到直线的距离公式.请问“点到直线的距离”是如何定义的？——ppt1

（如图，点到直线的距离，就是从点作直线的垂线段的长度，其中是垂足.）

2、（公式探究）那你能推导“点到直线的距离公式”吗？有几种方案？——ppt2

（如图，已知点，直线，如何求点到直线的距离？）

方案一：定义法

思路：求直线方程联立求出垂足利用两点间距离公式求出.

由，可得垂线.

由方程组，得.

所以

所以.

反思：上述方法，思路自然但计算量大，你能优化吗？

优化一：（设而不求，将和看成整体，分别解出来）——ppt3

观察方程组，发现，

结合

所以可以将和看成整体，

所以只要将，

从而得出，代入①式即可求出.

优化二：（只需要和的平方和）

再观察，发现只需要和的平方和，

所以只需将两个方程平方相加，即可得到.

设而不求，整体思想

方案二：等面积法

思路：这里求的是距离，我们可以想到三角形的面积.因此只需构造直角三角形，再通过面积相等就可以求出距离.——ppt4

如图，过点分别作轴、轴的垂线，交直线于点.

在中，由面积公式得：

由，得；由，得.

所以，

所以.

反思：上述方法对于或时是否成立呢？课后自主探究.

方案三：解直角三角形

思路：既然构造了这么多直角三角形，那只需要在中，利用.——ppt5

由图可知：等于直线的倾斜角

由，得.

所以.

反思：上述方法简单但问题较多，倾斜角钝角时成立吗？还有或时是否成立呢？课后自主探究.

方案四：向量法

思路：这里有垂直关系，可以想到向量是处理垂直关系的一种很好的工具.因此我们还可以结合法向量利用向量的数量积求距离.——ppt6

设直线上任意一点，则，

且直线的一个法向量为.

由数量积的几何意义可得：

反思：向量法既简洁又严密.

方案五：函数法

思路：如果直线上任意一点，那么就是长度的最小值，因此还可以利用函数求最小值方法.——ppt7

设直线上任意一点，则

所以

当时，的最小值为.

所以.

函数思想

通过以上五种方法的推导，我们得到：

任意的点到直线的距离.——ppt8

二、知识应用：

1、（掌握应用1）例1：求点到下列直线的距离：（1）；（2）.——ppt9

解：（1）点到直线的距离.

（2）法一：点到直线的距离.

法二：点到直线的距离.

运用距离公式时，直线方程要化为一般式.

2、（掌握应用1）例2：已知的三个顶点分别是，求的面积.——ppt11

解：设边上的高为，则.

.

边上的高就是点到的距离.

边所在直线方程为，即.

点到的距离为.

因此，.

课后思考还有其它解法吗？

3、（熟练运用）练习：求原点到下列直线的距离：——ppt12

（1）；（）

（2）.（）

三、课堂小结：——ppt13

数学知识：点到直线的距离.

数学思想：数形结合，整体思想，转化与化归，函数思想.

四、课后作业：人教A版书本第77页练习：2、3.——ppt14

备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。