2025春 南方新课堂 金牌学案 数学 选择性必修第三册（配人教版）高考2021-2024真题汇总 2023年普通高等学校招生全国统一考试·新课标Ⅰ卷.docx

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2023年普通高等学校招生全国统一考试·新课标Ⅰ卷

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝()

A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}

C．{－2} D．{2}

C[因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C．]

2．已知z＝1-i2+2i，则z－z＝

A．－iB．iC．0D．1

A[因为z＝1-i2+2i＝1-i221+i1-i＝－12i，所以z＝12i，所以z－z＝－

3．已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则()

A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1

C．λμ＝1 D．λμ＝－1

D[因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1．故选D．]

4．设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是()

A．(－∞，－2] B．[－2，0)

C．(0，2] D．[2，＋∞)

D[法一(复合函数法)因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝a2≥1，解得a≥2．故选D

法二(特值法)取a＝3，则y＝x(x－3)＝x-322－94在(0，1)单调递减，所以f(x)＝2x(x-3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C，

5．设椭圆C1：x2a2＋y2＝1(a＞1)，C2：x24＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝3e1，则

A．233 B

C．3 D．6

A[由已知得e1＝a2-1a，e2＝4-12＝32，因为e2＝3e1，所以32＝3×a2-1a，

6．过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝()

A．1 B．15

C．104 D．

B[如图，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝5，所以圆心到点(0，－2)的距离为2-02+0+22＝22，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sinα2＝r22＝522＝104，所以cosα2＝64，所以sinα＝2sinα2cos

]

7．设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：Snn为等差数列．则(

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

C[若{an}为等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋nn-12d，所以Snn＝a1＋(n－1)·d2，所以Sn+1n+1－Snn＝a1＋(n＋1－1)·d2－[a1＋(n－1)·d2]＝d2为常数，所以Snn为等差数列，即甲?乙；若Snn为等差数列，设其公差为t，则Snn＝S11＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*)，所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)t]＝2

8．已知sin(α－β)＝13，cosαsinβ＝16，则cos(2α＋2β)＝(

A．79 B．

C．－19 D．－

B[依题意，得sinαcosβ-cosαsinβ=13，cosαsinβ=16，所以sinαcosβ＝12，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝12＋16＝23，所以cos(2α＋

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则()

A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数

B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数

C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差

D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2