微重点07　球的切接问题（2大考点+强化训练）原卷版.docx

微重点07球的切接问题（2大考点+强化训练）

空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置．

知识导图

考点分类讲解

考点一：空间几何体的外接球

规律方法求解空间几何体的外接球问题的策略

(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径．

(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的．

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．

【例1】（2024·辽宁抚顺·一模）在三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【变式1】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知正四面体的棱长为，则该四面体的外接球与以点为球心，为半径的球面的交线的周长为（?????）

A． B． C． D．

【变式2】(2023·昆明模拟)故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面ABCD为矩形，AB＝4，AD＝EF＝2，EF∥底面ABCD，且EA＝ED＝FB＝FC＝BC，则几何体ABCDEF外接球的表面积为()

A．22π B．28π

C．32π D．38π

【变式3】(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________.

考点二：空间几何体的内切球

规律方法空间几何题的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径．

【例2】（2024·湖南·二模）一个正四棱锥底面边长为2，高为，则该四棱锥的内切球表面积为.

【变式1】(2023·沈阳模拟)如图，圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和底面均相切．已知圆台的下底面圆心为O1，半径为r1，圆台的上底面圆心为O2，半径为r2(r1r2)，球的球心为O，半径为R，记圆台的表面积为S1，球的表面积为S2，则eq\f(S1,S2)的可能的取值为()

A.eq\f(π,2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(π,3)D.eq\f(4,3)

【变式2】（2024·河北沧州·模拟预测）某包装设计部门为一球形塑料玩具设计一种正四面体形状的外包装盒（盒子厚度忽略不计），已知该球形玩具的直径为2，每盒需放入10个塑料球，则该种外包装盒的棱长的最小值为（????）

A． B． C． D．

【变式3】（2024·四川宜宾·二模）所有棱长均为6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点，则线段长度的最大值为.

强化训练

一、单选题

1．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

2．（2024·广东梅州·一模）某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为（????）

A． B．

C． D．

3．（2024·陕西西安·一模）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则该正八面体结构的内切球表面积为（????）

A． B． C． D．

4．（2024·广东·模拟预测）将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，则当此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（????）

A． B． C． D．

5．（2024·河北邯郸·三模）已知在四面体中，，二面角的大小为，且点A，B，C，D都在球的球面上，为棱上一点，为棱的中点．若，则（????）

A． B． C． D．

6．（2024·湖北·模拟预测）已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（???）

A． B． C． D．

7．（2024·河南开封·二模）已知经过圆锥的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（????）

A． B． C． D．

8．（20