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探析中求锐角三角函数值之策略

在九年级数学中，我们学习了直角三角形的边角关系，它是现实世界中应用广泛的关

系之一。而锐角三角函数实现了直角三角形边角之间的关系，把这种关系用数量的形式表

示了出来。在不利用计算器的情况下，如何求一个锐角的三角函数值呢？

一、求特殊锐角三角函数值

1、求30˚、45˚、60˚的三角函数值。

解题策略：如右图所示，画一个锐角是30˚的直角三角形和一个等腰直角三角形，然

后利用取“特殊值”法，根据锐角三角函数定义，写出锐角三角函数值即可。

13331

如图①所示，sin30˚=，cos30˚=，tan30˚=；sin60˚=，cos60˚=，tan60˚=

22322

3。

22

如图②所示，sin45˚=，cos45˚=，tan45˚=1。

22

2、求22.5˚、67.5˚、15˚、75˚正切值。

解题策略：

如图③所示，延长CA至点E，使AE=AB，连接BE。

则tan15˚=2-3，tan75˚=2+3

如图④所示，延长CB至点E，使BE=BA，连接AE。

则tan22.5˚=2-1，tan67.5˚=2+1

二、求一般锐角三角函数值

1、定义法

解题策略：根据题目条件易求出直角三角形的边长，然后根据锐角三角函

数定义，求出锐角三角函数值。

如图⑤所示，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，AB＝5，AC＝4，求∠A的三角函数值。

解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90˚，AB＝5，AC＝4。

图⑤

∴BC=22=3

ABAC

343

∴sinA=，cosA=，tanA=。

554

2、活“雷锋”法

解题策略：活“雷锋”法，即设“参数”法，根据题目条件，设出相关参

数，其中所设参数在解题过程中被约分掉，从而求出锐角三角函数值的方法。

因“参数”助我们解决了问题，而悄悄地消失了，于是称这个参数为“活雷

锋”，为了加深学生的形象记忆，便把设“参数”法叫做活“雷锋”法。

a:当已知直角三角形边之间的数量关系时

如⑥所示，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若

3

2a＝b，求∠A的三角函数值。

解：设b=2k（k≠0）则a=3k

∵∠C＝90˚

∴c=22=7k

ab图

a3k21b2k27

∴sinA===，cosA===，

c7k7c7k7

a3k3

tanA===

b2k2

b:当已知直角三角形两边（或三边）之比时

如图⑥所示，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，若a∶c＝2∶3，求∠A的三角函数值。

解：设a=2m（m≠0），则c=3m

∵∠C＝90

∴b=c2b2=5m

a2m2b