第14讲　直线与圆（3大考点+强化训练）原卷版.docx

第14讲直线与圆（3大考点+强化训练）

[考情分析]1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．

知识导图

考点分类讲解

考点一:直线的方程

1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.

2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).

3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).

易错提醒解决直线方程问题的三个注意点

(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．

(2)要注意直线方程每种形式的局限性．

(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．

【例1】（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式1】（23-24高三上·河北·阶段练习）已知直线与直线垂直，则的最小值为（???）

A．2 B．4 C．6 D．8

【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（????）

A． B． C． D．

【变式3】（2023高三·全国·专题练习）过点且与直线平行的直线方程为.

考点二:圆的方程

1．圆的标准方程

当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

2．圆的一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆．

规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法

(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．

(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．

【例4】（2024·江苏·一模）莱莫恩定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的线.在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标分别为，则该三角形的线的方程为（????）

A． B．

C． D．

【变式1】（2024·广东·一模）过，，三点的圆与轴交于，两点，则（????）

A．3 B．4 C．8 D．6

考点三:直线、圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．

其判断方法为：

(1)点线距离法．

(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,?x－a?2＋?y－b?2＝r2，))

消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离?Δ0，直线与圆相切?Δ＝0，直线与圆相交?Δ0.

2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．

考向1直线与圆的位置关系

规律方法直线与圆相切问题的解题策略

当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．

【例3】（2024·云南昆明·模拟预测）已知是圆的切线，点为切点，若，则点的轨迹方程是（????）

A． B． C． D．

【变式1】（23-24高三下·山东青岛·开学考试）“圆心到直线的距离小于圆的半径”是“直线与圆相交”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式2】（2024·广东佛山·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（????）

A．1 B． C． D． E．均不是

【变式3】（2024·福建漳州·一模）过点作圆：的两条切线，切点分别为A，，若直线与圆：相切，则．

考向2圆与圆的位置关系

【例3】（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知圆，圆心为的圆分别与圆相切.圆的公切线（倾斜角为钝角）交圆于两点，则线段的长度为（????）

A． B． C．3 D．6

【变式1】（23-2