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探析切线的判定

一、切线的定义：

直线和圆有唯一公共点，则这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。

二、切线的判定方法：

方法1：定义法

方法2：数量关系

圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。

方法3：位置关系

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

三、选用切线判定方法的解题策略

（1）已知直线与圆的公共点

解题策略：连接圆心与交点得到半径，证明半径与直线垂直。

简记为：一连二证

①利用一条直线垂直于平行线中的一条直线，则与另一条直线也垂直来证明垂

直。

问题1：如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC＝∠CAM，过点C

作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理

由；

【解答】直线CD与⊙O相切．

理由如下：连接OC．

∵OA＝OC，

∴∠BAC＝∠OCA，

∵∠BAC＝∠CAM，

∴∠OCA＝∠CAM，

∴OC∥AM，

∵CD⊥AM，

∴OC⊥CD，

∵OC为半径，

∴直线CD与⊙O相切．

问题2：如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF⊥AB于

点F，连接OF，且AF＝1．求证：DF是⊙O的切线；

【解答】证明：连接OD，

∵△ABC是等边三角形，

o

∴∠C＝∠A＝60，

∵OC＝OD，

∴△OCD是等边三角形，

o

∴∠CDO＝∠A＝60，

∴OD∥AB，

∵DF⊥AB，

∴∠FDO＝∠AFD＝90°，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切线；

°

②求出过半径外端点的直线与半径（或直径）的夹角等于即可。

问题3：如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD＝∠ACB．

求证：AB是圆的切线；

【解答】证明：∵BC是直径，

∴∠BDC＝90°，

∴∠ACB+∠DBC＝90°，

∵∠ABD＝∠ACB，

∴∠ABD+∠DBC＝90°

∴∠ABC＝90°

∴AB⊥BC，

∴AB是圆的切线．

问题4：如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，

且AC＝CD，∠ACD＝120°．求证：CD是⊙O的切线；

【解答】证明：连接OC．

∵AC＝CD，∠ACD＝120°，

∴∠A＝∠D＝30°．

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠A＝30°．

∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝90°．即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

问题5：如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧BF的中

点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC。求证：CE是⊙O的切线。

【解答】证明：连接OC，BF，OC和BF相交于点H。

∵AB是直径

°

∴∠AFB=∠BFE=90

∵CE⊥AD

°

∴∠CEF=90

∵点C为劣弧BF的中点

∴OC⊥BF

°

∴∠CEF=∠EFH=∠FHC=90

∴四边形EFHC是矩形

°

∴∠OCE=90，即OC⊥CE

∴CE是⊙O的切线

③利用勾股定理逆定理证垂直。

问题6：如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB

于

点E，且ME＝3，AE＝4，AM＝5．求证：BC是⊙O的切线；

【解答】证明：∵在△AME中，ME＝3，AE＝4，AM＝5，

222

∴＝+，

AMMEAE

∴△AME是直角三角形，

∴∠AEM＝90°，

又∵MN∥BC，

∴∠ABC＝∠AEM＝90°，

∴AB⊥BC，

∵AB为直径，