人教版八年级下册数学教学设计 第19章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.1 正比例函数 19.2.1.1 正比例函数的概念.docVIP

19.2.1正比例函数

第1课时正比例函数的概念

课时目标

(一)教学知识点

1.理解正比例函数的概念.

2.理解正比例函数的特征与解析式的联系规律.

(二)能力训练要求

1.通过类比两个量成正比例的方法学习正比例函数,体会类比思想的重要性.

2.进一步提高分析概括、总结归纳能力.

学习重点

正比例函数的概念.

学习难点

正比例函数的概念.

课时活动设计

情境导入

问题:2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.解答以下问题:

(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站上海虹桥站,约需多少小时(结果保留小数点后一位)?

(2)京沪高铁列车的行程y(单位:km)与运行时间t(单位:h)之间有何数量关系?

(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后,是否已经过了距始发站1100km的南京南站?

解:(1)约需1318÷300≈4.4(h).

(2)京沪高铁列车的行程y是运行时间t的函数,函数解析式为y=300t(0≤t≤4.4).

(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h的行程,是当t=2.5时函数y=300t的值,即y=300×2.5=750(km).750km1100km,

这时列车尚未到达距始发站1100km的南京南站.

设计意图:以上我们用函数y=300t(0≤t≤4.4)对京沪高铁列车的行程问题进行了讨论.尽管实际情况可能会与此有一些小的不同,但这个函数基本上反映了列车的行程与运行时间之间的对应规律.

思考:下列问题中,变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是,请写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同特征?

(1)圆的周长l随半径r的变化而变化;

(2)铁的密度为7.9g/cm3,铁块的质量m(单位:g)随它的体积V(单位:cm3)的变化而变化;

(3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随练习本的本数n的变化而变化;

(4)冷冻一个0℃的物体,使它每分下降2℃,物体的温度T(单位:℃)随冷冻时间t(单位:min)的变化而变化.

上面问题中,表示变量之间关系的函数解析式分别为

(1)l=2πr;(2)m=7.9V;(3)h=0.5n;(4)T=-2t.

正如函数y=300t一样,上面这些函数都是常数与自变量的积的形式.

一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数(proportionalfunction),其中k叫做比例系数.

设计意图:由简单的问题引入,列出其关系式,再进行观察、发现,引导学生类比两个量成正比例的概念进而发现正比例函数的概念.

辨析概念

下列式子中,哪些表示y是x的正比例函数?请说明理由.

(1)y=-2x+1;(2)y=-7x;(3)y=2x2+x+1;(4)y2=4x;(5)y=3x;(6)y=-12

解:只有(5)表示y是x的正比例函数.

理由:正比例函数y=kx中,x和y的次数都为1,k为不等于0的常数,

观察上式,只有(5)符合题意.

设计意图:通过辨析概念让学生更能准确地理解和掌握正比例函数的概念,能区分正比例函数与两个量成正比例的区别与联系.

实际应用

列式表示下列问题中的y与x的函数关系,并指出哪些是正比例函数.

(1)正方形的边长为xcm,面积为ycm2;

(2)等边三角形的边长为xcm,周长为ycm;

(3)一个长方体的长为2cm,宽为1.5cm,高为xcm,体积为ycm3;

(4)一本练习册15元,小明购买了x本,总费用为y元;

(5)长方形的长为xcm,宽为5cm,面积为ycm2.

解:(1)y=x2,不是正比例函数;

(2)y=3x,是正比例函数;

(3)y=3x,是正比例函数;

(4)y=15x,是正比例函数;

(5)y=5x,是正比例函数.

设计意图:能快速准确地列出关系式并作出判断,让学生知道生活中有很多正比例函数的例子,激发学生学数学和用数学解决问题的意识.

牛刀小试

1.要使y=(m-2)xn+1+n是关于x的正比例函数,n,m应满足什么条件?

解:根据题意,得m-2≠0,且n+1=1.解得m≠2,且n=0.

2.已知函数y=(2-m)x+2m-6,求当m为何值时,此函数为正比例函数.

解:根据题意,得2-m≠0,且2m-6=0,解得m=3.

应用拓展

3.在正比例函数y=kx中,当x=3时,y=6,则k的值为(C)

A.-1B.1C.2D.-5

4.若一个正比例函数的比例系数是4,则它的解析式为y=4x.?

5.若正比例函数的自变量x=-4时,函数y=2.

(1)求正比例函数的解析式;

(2)求当x=6时,函数y的值.

解:(1)设正比例函数的