（苏科版）数学八年级下册期末考点复习练习专题34 反比例函数中的矩形和菱形（解析版）.doc

专题34反比例函数中的矩形和菱形

1．（江苏省淮安市涟水县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．

(1)求点A和点C的坐标；

(2)如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；

(3)在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)A（1，0），C（3，-4）

(2)t=2s

(3)存在，点Q的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（，1）或（，1）或Q（，5）．

【分析】（1）过点C作CH⊥y轴于点H，利用AAS证明△AOB≌△BHC，得BH=AO=1，CH=BO，设OB=a，则OH=a+1，从而得出点C的坐标，代入直线解析式即可；

（2）根据平移的性质表示出D、F的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标的特征得出方程即可；

（3）由（2）知E（0，3），F（3，2），设P（b，0），根据对角线进行分类，利用两点之间的距离公式列出方程，解方程可得答案．

【详解】（1）解：∵y=-2x+2与x轴交于点A，

∴0=-2x+2，得x=1，

∴点A（1，0）；

过点C作CH⊥y轴于点H，

∴∠CHB=∠BOA=90°，

∵将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，

∴∠BAC=45°，

又∵BC⊥AB，

∴∠BAC=∠ACB=45°，

∴AB=BC，

∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠CBH=90°，

∴∠OAB=∠CBH，

在△AOB和△BHC中，

∴△AOB≌△BHC（AAS），

∴BH=AO=1，CH=BO，

设OB=a，则OH=a+1，

∴点C（a，-a-1），

∵点C在直线l上，

∴-a-1=-2a+2，

∴a=3，

∴C（3，-4）；

（2）解：将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，

A（1，0），B（0，-3），C（3，-4），

∴点D（1，3t），点E（0，-3+3t），点F（3，-4+3t），

∵点A、C两点的对应点D、F正好落在某反比例函数的图象上，

∴1×3t=3×（-4+3t），

∴t=2；

（3）解：由（2）知E（0，3），F（3，2），

设P（b，0），

则，，，

当EF为对角线时，则PE=PF，即，

∴，

解得：b=，

∴P（，0），

点P（，0）向左平移个单位、向上平移3个单位到E（0，3），

∴点F（3，2）向左平移个单位、向上平移3个单位到Q（3-，2+3），

∴Q（，5）；

当EP为对角线时，则EF=PF，即，

∴，

解得：b=+3或+3，

∴P（+3，0）或（+3，0），

当P（+3，0）时，同理得Q（，1）；

当P（+3，0）时，同理得Q（，1）；

当EQ为对角线时，则EF=PF，即，

∴，

解得：b=1或-1，

∴P（1，0）或（-1，0），

当P（1，0）时，同理得Q（4，-1）；

当P（-1，0）时，同理得Q（2，-1）；

综上所述：点Q的坐标为（2，-1）或（4，-1）或（，1）或（，1）或Q（，5）．

【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，菱形的性质等知识，运用方程思想是解题的关键．

2．（江苏省苏州市姑苏区草桥中学2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷）如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于、两点，交x轴于点C．

（1）求反比例函数与一次函数的关系式；

（2）根据图象回答：在第四象限内，当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围是什么？

（3）若点P在x轴上，点Q在坐标平内面，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形时，求出点P的坐标．

【答案】（1），；（2）当4＜x＜16时，（3）（0，0），（15，0），P或．

【分析】（1）将点A（4，﹣8），B（m，﹣2）代入反比例函数y（x＞0）中，可求m、a；再将点A（4，﹣8），B（m，﹣2）代入y＝kx+b中，列方程组求k、b即可；

（2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值小于反比例函数的值时x的范围；

（3）根据矩形形的性质，分类讨论，即可得出结论．

【详解】解：（1）∵反比例函数y（x＞0）的图象于A（4，﹣8），

∴k＝4×（﹣8）＝﹣32．

∵双曲线y过点B（m，﹣2），

∴m＝16．

由直线y＝kx+b过点A，B得：，

解得，，

∴反比例函数关系式为