（苏科版）数学八年级下册期末考点复习练习专题35 反比例函数中的正方形（解析版）.doc

专题35反比例函数中的正方形

1．如图，正方形ABCD的边长为10,点A的坐标为,点B在y轴上.若反比例函数的图像经过点C,则k的值为_____.

【答案】12

【分析】过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值．

【详解】解：如图，过点作轴于，在正方形中，，，

，

，

，

点的坐标为，

，

，

，

在和中，

，

，

，，

，

点的坐标为，

反比例函数的图象过点，

，

故答案为12．

【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标是解题的关键．

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点A，C的坐标分别为（2，0），（0，2），D是x轴正半轴上的一点（点D在点A的右边），以BD为边向外作正方形BDEF（E，F两点在第一象限），连接FC交AB的延长线于点G．若反比例函数的图象经过点E，G两点，则k的值为______________．

【答案】5

【分析】过F作FN垂直于x轴,交CB延长线于点M,利用AAS得到三角形ABD与三角形BMF全等,利用全等三角形对应边相等得到AD=FM,进而表示出F坐标,根据B为CM中点,得出G的CF中点,表示出G坐标,进而得出E坐标,把G与E代入反比例解析式求出a的值,确定出E坐标,代入反比例解析式求出k的值即可.

【详解】详解:过F作FN⊥x轴,交CB的延长线于点M,过E作EH⊥x轴,交x轴于点H,

∵∠FBM+∠MBD=90°,∠MBD+∠ABD=90°,

∴∠FBM=∠ABD,

∵四边形BDEF为正方形,

∴BF=BD,

在△ABD和△BMF中,

∠BAD=∠BMF,∠ABD=∠MFB,BD=BF,

∴△ABD≌△BMF(AAS),

设AD=FM=a,则有F(4,2+a),C(0,2),

由三角形中位线可得G为CF的中点,

∴G(2,2+12a),同理得到△DHE≌△BAD,

∴EH=AD=a,OH=OA+AD+DH=4+a,

∴E(4+a,a),∴2(2+12a)=a(4+a),即a2+3a-4=0,解得:a=1或a=-4(舍去),

∴E(5,1),

把F代入反比例解析式得:k=5.

故答案为:5.

【点睛】此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:正方形的性质,全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,解一元二次方程,以及反比例函数的性质,熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键.

二、解答题

3．（2020春·江苏连云港·八年级统考期末）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图象经过点A′．

（1）设a=2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．

①分别求函数y1、y2的表达式；

②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；

（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AAB的面积为16，求k的值；

（3）设m=，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．

【答案】（1）y1=，y2=x﹣2；②2＜x＜4；（2）k=6；（3）证明见解析.

【详解】分析：（1）由已知代入点坐标即可；

（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；

（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．

详解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上

∴k=8

∴y1=

∵a=2

∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）

把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2=mx+n得，

，

解得，

∴y2=x﹣2；

②当y1＞y2＞0时，y1=图象在y2=x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方，

∴由图象得：2＜x＜4；

（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO，

∵O为AA′中点，

S△AOB=S△AOA′=8

∵点A、B在双曲线上

∴S△AOC=S△BOD

∴S△AOB=S四边形ACDB=8

由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）

∴，

解得k=6；

（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）.

把A′代入到y=，得：﹣，

∴n=，

∴A′B解析式为y=﹣.

当x=a时，点D纵坐标为，

∴AD=

∵AD=AF，

∴点F和点P横坐标为，

∴点P纵坐标为.

∴点P在y1═（x＞0）的图象上.

点睛：本题综合考查反比例函数、一