第08讲　等差数列、等比数列（3大考点+强化训练）解析版.docx

第08讲等差数列、等比数列（3大考点+强化训练）

[考情分析]1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列求和及综合应用是高考考查的重点．

知识导图

考点分类讲解

考点一：等差数列、等比数列的基本运算

等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)

(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d，

an＝am＋(n－m)d.

(2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1，

an＝am·qn－m.

(3)等差数列的求和公式：

Sn＝eq\f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq\f(n?n－1?,2)d.

(4)等比数列的求和公式：

Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1?1－qn?,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))

规律方法等差数列、等比数列问题的求解策略

(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.

(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列．

(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．

【例1】（23-24高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知正项等差数列满足，则（????）

A．39 B．63 C．75 D．99

【答案】B

【分析】利用等差数列的通项公式列方程组求解.

【详解】设等差数列的公差为，

因为，所以，

解得或（舍去），

所以.

故选：B.

【变式1】（2024·广东深圳·一模）已知数列满足，，若为数列的前项和，则（????）

A．624 B．625 C．626 D．650

【答案】C

【分析】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得.

【详解】数列中，，，

当时，，即数列的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，

则，

当时，，即数列的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为，

则，

所以.

故选：C

【变式2】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知数列满足，若，，则．

【答案】8

【分析】判断数列为等比数列，求出，结合，即可求得答案.

【详解】由于数列满足，故数列为等比数列，设公比为q，

又，，故，

故，

故答案为：8

【变式3】(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4等于()

A.eq\f(15,8)B.eq\f(65,8)C．15D．40

【答案】C

【解析】方法一若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，

有5＝5×3－4，不成立，

所以q≠1.

由eq\f(1－q5,1－q)＝5×eq\f(1－q3,1－q)－4，

化简得q4－5q2＋4＝0，

所以q2＝1(舍)或q2＝4，

由于此数列各项均为正数，

所以q＝2，所以S4＝eq\f(1－q4,1－q)＝15.

方法二由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，

即q3＋q4＝4q＋4q2，

即q3＋q2－4q－4＝0，

即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.

由题知q0，所以q＝2.

所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.

【变式4】(2023·安康模拟)中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第五天行走的里程数约为()

A．2.76 B．5.51

C．11.02 D．22.05

【答案】D

【解析】设该马第n(n∈N*)天行走的里程数为an，

由题意可知，数列{an}是公比为eq\f(1,2)的等比数列，

所以该马七天所走的里程为eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,27))),1－\f(1,2))＝eq\f(127a1,64)＝700，解得a1＝eq\f(27×350,127).

故该马第五天行走的里程数为a5＝a1·eq\f(1,24)＝eq\f(27×350,127)×eq\f(1,24)＝eq\f(2800,127)≈22.05.

【变式5】(2023·河南联考)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则春分时节的日影长为()

A．4.5尺 B．3.5尺

C．2.5尺 D．1.5尺

【答案】A

【解析】冬至、小寒、大寒、立春、雨