人教版八年级下册数学教学设计 第17章 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理 17.2.2 勾股定理及其逆定理的综合应用.docVIP

第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用

课时目标

能够运用勾股定理及其逆定理解决相关实际问题,发展学生分析问题、解决问题的能力,用数学的思维思考现实世界.

学习重点

勾股定理逆定理的实际应用.

学习难点

勾股定理及其逆定理的综合应用.

课时活动设计

知识回顾

回顾勾股定理的逆定理的内容,并指出定理用于判定直角三角形.

如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

设计意图:复习旧知识,为新课学习做准备.

实际应用

例1如图,某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16nmile,“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于Q,R处,且相距30nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?

解:如图,连接RQ.根据题意,得PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30.

因为242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90°.

如图,由“远航”号沿东北方向航行可知,∠1=45°.因此∠2=45°,即“海天”号沿西北方向航行.

设计意图:带着实际问题走入数学课堂,激发学生的学习兴趣,发展学生将实际问题转化为数学问题并解决数学问题的能力,同时建立数学对象与现实世界之间的联系.

综合应用

例2已知:如图,四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°.求证:∠A+∠C=180°.

解:如图,连接AC.在Rt△ABC中,因为AB=20,BC=15,∠B=90°.

由勾股定理,得AC=AB2+B

在△ADC中,因为AD=24,DC=7,AC=25.

又因为242+72=252,所以AD2+CD2=AC2.

所以∠ADC=90°.所以∠DAC+∠DCA=90°.

因为∠B=90°,所以∠CAB+∠BCA=90°.

所以易得∠DAB+∠DCB=180°,即∠A+∠C=180°.

设计意图:通过解决此问题,让学生明确有直角三角形时运用勾股定理求第三边,有三角形的三条边时运用勾股定理的逆定理判定直角.发展学生综合运用知识解决问题的能力.

例3如图,BE⊥AE,∠A=∠EBC=60°,AB=4,BC=23,CD=3,DE=3,求证:AD⊥CD.

证明:证法一.在Rt△AEB中,因为∠AEB=90°,∠A=60°,所以∠ABE=30°.因为AB=4,所以AE=2.由勾股定理,得BE=AB2-AE

在△BEC中,因为∠EBC=60°,BC=BE=23,所以EC=23.

在△EDC中,因为(23)2-(3)2=32,

所以EC2-DC2=DE2.所以∠D=90°.所以AD⊥CD.

证法二.如图,延长AD,BC交于点M.

因为BE⊥AE,∠A=60°,所以∠ABE=30°.

因为∠EBC=60°,所以∠ABM=90°.

在Rt△ABE和Rt△ABM中,

易得AE=2,AM=8,BE=23,BM=43.

在△MDC中,因为(43-23)2-(3)2=(8-2-3)2,

所以MC2-DC2=DM2.所以∠MDC=90°.

所以AD⊥CD.

设计意图:引导学生经历一题多解,再次感悟勾股定理求边长、勾股定理的逆定理判定直角.

初步应用

1.A,B,C三地的两两距离如图所示,A地在B地的正东方向,C地在B地的什么方向?

解:因为BC2+AB2=52+122=169,AC2=132=169,所以BC2+AB2=AC2.

即△ABC是直角三角形,∠B=90°.

答:C地在B地的正北方向.

2.有一电子跳蚤从坐标原点O出发向正东方向跳1cm,又向南跳2cm,再向西跳3cm,然后又跳回原点,问电子跳蚤跳回原点的运动方向是怎样的?所跳距离是多少厘米?

解:根据题意,结合下图可知电子跳蚤跳回原点的运动方向是东北方向;所跳距离是22cm.

3.如图,在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000m的A处有一艘快艇正在向正南方向航行,经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.

求:(1)此时快艇航行了多少米(即AB的长)?

(2)距离哨所多少米(即OB的长)?

解:(1)根据题意,得∠AOC=30°,∠COB=45°,AO=1000m,AB⊥OC,

所以AC=12AO=500m,BC=

在Rt△AOC中,由勾股定理,得OC=10002-50

所以BC=OC=5003.

所以AB=AC+BC=(500+5003)m.

所以此时快艇航行了(500+5003)m.

(2)在Rt△BOC中,由勾股定理,得OB=OC2+BC2=(5003

拓展提升

1.如图1,甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼.甲船以152km/h