第3讲　导数的几何意义及函数的单调性（3大考点+强化训练）解析版.docx

第3讲导数的几何意义及函数的单调性（3大考点+强化训练）

【知识导图】

【考点分析】

考点一导数的几何意义与计算

1．导数的几何意义

(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．

(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．

(3)切点既在切线上，又在曲线上．

2．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.

一、单选题

1．（2024·全国·模拟预测）已知幂函数在上单调递减，则曲线在处的切线方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用幂函数定义解方程并利用单调性可得，再由导数的几何意义即可求得结果.

【详解】由于为幂函数，则，解得或，

又在上单调递减，得，即，故，

则，

可得，，则，

故曲线在处的切线方程为，即，

故选：C．

二、填空题

2．（2024·山西·校联考模拟预测）已知函数，若直线与曲线相切，则.

【答案】/

【分析】根据切线的斜率求出切点，再代入切线方程即可得解.

【详解】设切点为，

，

由题意可得，

因为函数在上都是增函数，

所以函数在上是增函数，

又，所以，

所以切点为，

则，解得.

故答案为：.

3．（2024上·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）已知，则.（用数字作答）

【答案】405

【分析】两边求导，令即可得结果.

【详解】对两边求导得：

，

令，可得.

故答案为：.

考点二利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数单调性的步骤

(1)求函数y＝f(x)的定义域．

(2)求f(x)的导数f′(x)．

(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间．

(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号．

一、单选题

1．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果．

【详解】由.

①当时，函数单调递增，不合题意；

②当时，函数的极值点为，

若函数在区间不单调，必有，解得；

综上所述：实数a的取值范围为.

故选：B.

二、解答题

2．（2024上·山西·高三期末）已知函数，.

(1)求证：函数存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间的长度的取值范围；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）先求，然后分析的根，由此完成证明；利用韦达定理表示出结合的范围求解出其范围；

（2）将问题转化为“在上恒成立”，建立函数，通过多次求导分析函数单调性的过程求解出的取值范围.

【详解】（1），

令，

因为，二次函数对称轴，，

且恒成立，

所以恒有两个不相等的正实根，且这两个正实根分别为，，，

所以的单调递减区间是，

所以单调递减区间的长度，

因为，所以的取值范围为；

（2）由题意在上恒成立，

即在上恒成立，

令，

则，令，

则，令，

则，令，

则，当时，，

所以在上单调递减，，

所以在上单调递减，，

当，即时，，

所以在上单调递减，，

所以在上单调递减，成立，所以；

当，即，单调递减函数在时，，且，

所以在上有根，记为，

在上，，在上，

所以在上单调递增，在上单调递减，

且，函数在时，，

因此在上有解，记为，

在上，，单调递增，而，

因此在上，，从而在上不恒成立，

综上所述，的取值范围是.

【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：

（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；

（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.

3．（2024上·天津河北·高三统考期末）已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求函数的单调区间；

(3)在（2）的条件下，当时，，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)单调递减区间是，单调递增区间是

(3)

【分析】（1）当时，分别求出的值即可得解.

（2）对函数求导，令，得或，且满足，进一步即可得解.

（3）由题意只需，即，解不等式即可得解.

【详解】（1）时，，

，整理得.

曲线在点处的切线方程为.

（2），

，

令，

，解得或，且满足.

当变化时，的变化情况如下表：

2

-

0

+

0

-

极小值

极大值

函数单调递减区间是，单调递增区间是.

（3）由（2）可知，函数在区间单调递增，在区间单调递减，

，

解得，

，

实数的取值范围为.

【点睛】关键点睛：第二问的关键是将极值点先求出来，然后根据导数与单调性的关系即可得解，第