函数的凹凸性及其应用8600字【论文】 .docx

函数的凹凸性及其应用

目录

摘要 1

1绪论 1

1.1问题研究背景 1

1.3研究动态 4

2函数的凹凸性理论基础 5

2.1函数凹凸性的定义 5

2.2函数凹凸性的相关性质 5

2.3函数凹凸性的判别方法 6

3函数凹凸性的几个应用 7

3.1函数凹凸性在高中数学问题中的应用 7

3.2函数凹凸性在证明不等式中的应用 8

3.3函数凹凸性在求最值中的应用 10

总结 11

参考文献 12

摘要：通过对相关文献进行分析，从函数凹凸性的定义及其性质、在不等式

证明、求最值等问题中的应用这三个方面进行分析和总结，从导数等微积分理论角度进行探讨函数凹凸性判别的应用，用来进一步研究函数图形的变化趋势。函数凹凸性的知识点比之前学习的单调性还要复杂，但函数凹凸性的学习更让我们进一步了解函数，帮助我们开阔思路，解决一些复杂问题。

关键词：凹凸性；导数；判别方法；不等式；最值

1绪论

1.1问题研究背景

我们知道在初高中阶段，已经学习到函数的基本性质，其中有函数的定义域、值域、对应关系，奇偶性、单调性等等相关的知识，从函数的解析式我们可以求出相对应的定义域和值域，并且根据函数的单调性可以知道函数图形的走向趋势，是上升的还是下降的，根据函数的奇偶性可以知道函数图形在规定区间内是关于坐标轴原点对称还是y轴对称或者前两者都不是。但是还有一些情况的抛物线，如y=x2,,我们可以利用奇偶定义来判断他们图像的对称性，根据单调性的定义，可以判断出他们在区间[0,1]上的单调性，但是我们不好判断在此区间内

多个自变量的函数值组成的式子的大小。从画出来的图像上来看，他们的弯曲方向不一样，在同一个函数中，对于一点的函数值比另一个点的函数值是大还是小，尤其是在不等式这里，仅仅运用我们所知道的单调性这一个知识点是很难证明出来的，这说明无论是增加我们的知识面，还是对于我们进一步学习函数时，仅仅知道单调性这些基础的函数性质是不够的，还需要考虑函数图形的弯曲方向，让我们知道这个图像的趋势是怎样的一个情况，根据函数图像的趋势我们能总结得出怎样的结论，这样的结论才是我们学习的重点。通过查阅了国内外的参考文献，数学竞赛以及对近几年高考试题的分析中，发现函数凹凸性不但在解决高中题时有很多方便之处，在证明不等式，求最值时有着一定的简便之处，而且函数的凹凸性这块知识点主要重点用于高等数学中，凸函数也在泛函分析、最优化理论、数理经济学以及数学规划和控制论等现代数学与工程技术领域有着广泛的应用，然而高中课本中并没有涉及函数凹凸性的相关概念，虽然函数的凹凸性在高中教材中没有给出系统定义、性质，但发现它的影子不仅在课本题目中，还在高考大题中频频出现，这充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能，在遇到解决高中涉及函数的凹凸性的相关问题时，大部分的学生常常感到迷茫，不知道从那开始下手，于是学生在努力回忆自己学习的知识点时，发现没有涉及这一部分的内容，心里面更是没有其他想法，在思考题目时找不到突破口，于是导致在接下来的解题中感到困难，然而有部分学生虽然找不到新的突破口，但还是会根据之前学习的知识，按部就班的去看待题目，按照之前的解题模式，尝试着去做题，能做到那一步就尽量做到那一步，然而这部分学生在遇到计算量大或繁锁时，就会产生厌学数学的情绪，除此之外，还会影响接下来的解题思路，甚至情绪也会被调拨起来。为了解除这种困惑，培养与提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握函数凹凸性及其在不同类型题目中的应用是很必要的，因此本毕业论文从凹凸函数的基础知识和函数凹凸性在不同题型中的解题应用两个大的方面，对函数凹凸性定义、相关性质及其应用进行进一步的分析和总结。探讨函数凹凸性在证明不等式、求最值以及解数形结合问题等方面的应用，寻找解决有关函数凹凸性的相关问题提供比较清晰的解题思路和解题方法。

1.2问题的研究及其意义

凹凸性是函数的重要性质之一，不光与导数相关的知识点联系密切，而且在不等式证明、数列极限、椭圆积分、导数问题等方面有着广泛应用。同时，它对学生思维能力的培养等也有着重要意义，提高学生解决问题的灵活性以及看待问题的多样性。

对该问题的研究还可以：①有利于方便解决更多复杂的数学问题。函数的凹凸性是函数特征的重要内容，也在函数图像上直观表现出来，函数的凹凸性应用很广泛，同样的知识点，但对于不同类型的题目，运用的方式可能不同，灵活性大，更多的是需要学生的灵活变通，这也是学生们都困难之处，绕不过去的知识点。在学生学习生涯中，数学中的有关函数