专题6.5 二项式定理（重难点题型精讲）（教师版） .pdf

专题6.5二项式定理(重难点题型精讲)

按

打决光m芸一_____________________________________

1.二项式定理

一般地，对于任意正整数m都有

(q+b)=C*q+C：dnXb+C：an2b24Cfankbk4C旨bn.(*)

公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a+by的二项开式，其中各项的系数{0,1,2,

•••,})叫做二项式系数，C^an~kbk叫做二项开式的通项，用表示，即通项为开式的第奸1项：

=C^an~kbk.

(2)二项开式的规律

①二项开式一共有(乃+1)项.

②(乃+1)项按a的降蓦人的升蓦排列.

③每一项中。和人的蓦指数之和为n.

2.二项式系数的性质

(1)杨辉三角——二项式系数表

当n依次取1,2,3，…时，观察(a+b)n的开式的二项式系数：

(。+奸C®C；11

(a+6)2・・c?c;c;121

(a+6)3..•c?C；C；C；1331

(a+6)4-……C?c：c;c：c：1464

(a+6)5•…qC；c;c;c;c;……—1510105

(a+6)6.・・C?qC：c：c：c：c”•16152015

从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结

果，由此我们可以发现以下性质：

①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的

二项式系数相等.

②每一行两端都是1,而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.

③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大.

④第一行的两个数之和为2=2】，第二行的三个数之和为4=22,第六行的各数之和为26,

第n行的（乃+1）个数之和为2〃.

（2）二项式系数的性质

对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式数相等（即c：=cr）

当他『时，二项式数逐渐增大;当好导时，二项式数逐渐减小，

增减性

因此二项式数在中间取得最大值

当n是偶数时，展开式的中间一项弓“的二项式数C］最大;当n是

最大值奇数时，展开式的中间两项玲与玲h的二项式数C：,C：相等且

最大________________________

「C?+C：+C*・・+C：=2”

各二项式

数的和C?+C：+C：+・・・=C：+C：+C：+・・・=2i

丝二

【题型1求展开式的特定项或特定项的系数】

【方法点拨】

二项展开式的通项的主要作用求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第九项；②求含（或时内）的

项；③求常数项；④求有理项.其中求有理项时，一般根据通项，找出未知数的指数，令其为整数，再根据

整数的整除性求解.另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幕，以简化运算.

【例1】（2023-北京•高三专题练习）二项式（龙-命『的开式中常数项为（）

A.80B.-80C.-40D.40

【变式1-1】（2023-广西桂林•一模）3-2）5的开式中疔的系数为（）

A.40B.-40C.80D.-80

【变式1-2】（2022春•湖南邵阳•高二期末）（2x-£）6的开式中的常数项为-160,则。的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

【变式1-3】（2022-全国•模拟预测）（工-|）开式中第5项的系数是（）

A.C?o