高中数学人教A版选择性必修第二册：探究与发现 牛顿法——用导数方法求方程的近似解.docx

教学设计

课程基本信息

学科

高中数学

年级

高二

学期

春季

课题

探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的解

教学目标

1.探究并总结牛顿迭代法求方程的近似解，能用牛顿法解决高次方程的近似解问题。

2.体会牛顿法中蕴含的数形结合、逼近和以直代曲的思想方法，培养学生直观想象、数学运算的数学核心素养。

教学重难点

教学重点：

理解牛顿迭代法的逼近和迭代原理；

会用牛顿法求方程的近似解.

教学难点：

牛顿法的理论推导、逼近的思想方法.

教学过程

中外历史上的方程求解

中外数学史上，很多数学家对此进行了研究。《九章算术》，以算法形式给出了求一次、二次方程和正系数三次方程根的具体方法;隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法;北宁数学家贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出三次或三次以上的高次方程式的解法;南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种用算筹布列解任意数字方程的有效算法。

国外数学家中，阿拉伯数学家花拉子米、塔尔塔利亚、卡尔达诺分别研究了一次、二次、三次、四次方程的解法等。拉格朗日、阿贝尔、伽罗瓦对于五次方程及不能用开方法求解的方程进行了研究。

设计意图：一方面，通过通过数学史知识的介绍，调动学生的学习兴趣和热情，让学生感受到我们的数学家在研究学问方面刻苦执着的精神，另一方面，也在此背景基础上，引出本节课要学的牛顿法。

牛顿法的理论推导

思考：在研究方程的根的问题时，我们常常可以将其等价转化为什么问题进行研究？

从函数观点看，方程的根就是函数的零点，从图象上看，一个函数的零点r就是这个函数的图象与x轴的交点的横坐标，那么，如何求r的值呢？

二分法是如何求解近似解的？

二分法是不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法。从算法当中,我们可以体会到一个逐步逼近的思想。

那现在我们需要找曲线与x轴交点的横坐标，如果可以找到一步一步逼近r的，使得当n很大时，足够小，那么，我们就可以把的值作为r的近似值，即把作为方程f(x)=0的近似解。

著名科学家牛顿用“作切线”的方法找到了这一串.当然，要有一个起始点，比如，我们从开始.如图,在横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标就是;用代替重复上面的过程得到;一直继续下去，得到.从图形上我们可以看到，较更接近r,较更接近r,等等，它们越来越逼近r，直到我们计算出与r足够近的.

接下来的任务，计算.

在点处切线的斜率是，因此切线方程为，如果，那么切线与x轴交点的横坐标是，

继续这个过程，就可以推导出如下求方程根的牛顿法公式：

如果，那么切线与x轴交点的横坐标是，其中精度，做到为止。

设计意图：通过与二分法的类比，让学生在这个牛顿法推导的过程中体会逼近、以直代曲的思想方法。同时也让学生了解到，起始点的选择很重要，当然是越接近零点越好，我们可以事先对零点作一个估计.如果使用信息技术工具，这种估计是比较容易的.

例题讲解

对于一个给定的精确度，你能根据上述公式，求出方程的近似解吗？

解：令，取；

此时，，所以方程的近似解为.

设计意图：在推导完牛顿法的理论基础上，让学生尝试用这个方法来解决方程的解的问题，这是对方法的练习与巩固。在亲身感受一步一步求解的过程中，体会到逼近、迭代的数学思想方法。

学科融合，呈现算法

设计意图：在求解完一个方程后，学生了解了牛顿法的一般步骤，此时尝试让学生用计算机算法来实现牛顿法的求解，通过信息技术与数学课程的融合，把学生的\t/item/%E4%BF%A1%E6%81%AF%E6%8A%80%E6%9C%AF%E4%B8%8E%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E6%95%B4%E5%90%88/_blank主动性、积极性充分调动起来，使学生的\t/item/%E4%BF%A1%E6%81%AF%E6%8A%80%E6%9C%AF%E4%B8%8E%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E6%95%B4%E5%90%88/_blank创新思维与实践能力在整合过程中得到有效的锻炼。

思考与巩固

1.不同的初始值对求方程的近似解有影响吗?如果有，影响在什么地方?

从以下三种情况来感受初始值的选取对方程近似解的影响，第一幅图我们选取初始点后它在不断逼近零点，第二幅图，当初始值的离根的位置比较远或者位置不合适的时候，那逼近根的速度会比较慢，第三幅图当初始值处的导数为0，这条切线就不与x轴相交了，自然也是无法求出近似解。因此，初始值的选取很重要，要让它尽可能的接近零点，我们可以先用二分法或者信息技术工具来做一个估计。

2.你还知道其他求方程近似解的方法吗?你认为牛顿法的优点和缺点是什么?

我们学过二分法来求方程的近似解，它是通过每次求零点所在区间的