§3唯一性一二次型的标准形不唯一与所作的非退化线性替换有关.pdf

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§3唯一性

一、二次型的标准形不唯一，与所作的非退化线性替换有关

我们看到，经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合

同的矩阵.又合同的矩阵有相同的秩，因此，经过非退化线性替换之

后，二次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩

阵的秩就等它对角线上不为零的元素的个数.因之，在一个二次型的

标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退

化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩.

至于标准形中的系数，就不是唯一确定的.譬如上一节的例子，

二

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